Вероятность события определена зависимостью 0 p 100. Расчёт вероятности события игроком. Теория вероятностей. средний уровень

как онтологическая категория отражает меру возможности возникновения какого-либо сущего в каких-либо условиях. В отличие от математических и логической интерпретации этого понятия онтологическая В. не связывает себя с обязательностью количетвенного выражения. Значение В. раскрывается в контексте понимания детерминизма и характера развития в целом.

Отличное определение

Неполное определение ↓

ВЕРОЯТНОСТЬ

понятие, характеризующее количеств. меру возможности появления нек-рого события при определ. условиях. В науч. познании встречаются три интерпретации В. Классическая концепция В., возникшая из математич. анализа азартных игр и наиболее полно разработанная Б. Паскалем, Я. Бернулли и П. Лапласом, рассматривает В. как отношение числа благоприятствующих случаев к общему числу всех равновозможных. Напр., ири бросании игральной кости, имеющей 6 граней, выпадение каждой из них можно ожидать с В., равной 1/6, т. к. ни одна грань не имеет преимуществ перед другой. Подобная симметричность исходов опыта специально учитывается при организации игр, но сравнительно редко встречается при исследовании объективных событий в науке и практике. Классич. интерпретация В. уступила место статистич. концепции В., в основе к-рой лежат действит. наблюдения появления нек-рого события в ходе длит. опыта при точно фиксированных условиях. Практика подтверждает, что чем чаще происходит событие, тем больше степень объективной возможности его появления, или В. Поэтому статистич. интерпретация В. опирается на понятие относит. частоты, к-рое может быть определено опытным путем. В. как теоретич. понятие никогда не совпадает с эмпирически определяемой частотой, однако во мн. случаях она практически мало отличается от относит. частоты, найденной в результате длит. наблюдений. Многие статистики рассматривают В. как «двойник» относит. частоты, к-рая определяется при статистич. исследовании результатов наблюдений

или экспериментов. Менее реалистичным оказалось определение В. как предела относит. частот массовых событий, или коллективов, предложенное Р. Мизесом. В качестве дальнейшего развития частотного подхода к В. выдвигается диспозиционная, или пропенситивная, интерпретация В. (К. Поппер, Я. Хэккинг, М. Бунге, Т. Сетл). Согласно этой интерпретации, В. характеризует свойство порождающих условий, напр. эксперимент. установки, для получения последовательности массовых случайных событий. Именно такая установка порождает физич. диспозиции, или предрасположенности, В. к-рых может быть проверена с помощью относит. частот.

Статистич. интерпретация В. доминирует в науч. познании, ибо она отражает специфич. характер закономерностей, присущих массовым явлениям случайного характера. Во многих физич., биологич., экономич., демографич. и др. социальных процессах приходится учитывать действие множества случайных факторов, к-рые характеризуются устойчивой частотой. Выявление этой устойчивой частоты и количеств. ее оценка с помощью В. дает возможность вскрыть необходимость, к-рая прокладывает себе путь через совокупное действие множества случайностей. В этом находит свое проявление диалектика превращения случайности в необходимость (см. Ф. Энгельс, в кн.: Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., т. 20, с. 535-36).

Логическая, или индуктивная, В. характеризует отношение между посылками и заключением недемонстративного и, в частности, индуктивного рассуждения. В отличие от дедукции, посылки индукции не гарантируют истинности заключения, а лишь делают его в той или иной степени правдоподобным. Это правдоподобие при точно сформулированных посылках иногда можно оценивать с помощью В. Значение этой В. чаще всего определяется посредством сравнит. понятий (больше, меньше или равно), а иногда и численным способом. Логич. интерпретацию часто используют для анализа индуктивных рассуждений и построения различных систем вероятностных логик (Р. Карнап, Р. Джефри). В семантич. концепции логич. В. часто определяется как степень подтверждения одного высказывания другими (напр., гипотезы ее эмпирич. данными) .

В связи с развитием теорий принятия решений и игр все большее распростраиение получает т. н. персоналистская интерпретация В. Хотя В. при этом выражает степень веры субъекта и появление нек-рого события, сами В. должны выбираться с таким расчетом, чтобы удовлетворялись аксиомы исчисления В. Поэтому В. при такой интерпретации выражает не столько степень субъективной, сколько разумной веры. Следовательно, решения, принимаемые на основе такой В., будут рациональными, ибо они не учитывают психологич. особенностей и склонностей субъекта.

С гносеологич. т. зр. различие между статистич., логич. и персоналистской интерпретациями В. состоит в том, что если первая дает характеристику объективным свойствам и отношениям массовых явлений случайного характера, то последние две анализируют особенности субъективной, познават. деятельности людей в условиях неопределенности.

ВЕРОЯТНОСТЬ

одно из важнейших понятий науки, характеризующее особое системное видение мира, его строения, эволюции и познания. Специфика вероятностного взгляда на мир раскрывается через включение в число базовых понятий бытия понятий случайности, независимости и иерархии (идеи уровней в структуре и детерминации систем).

Представления о вероятности зародились еще в древности и относились к характеристике нашего знания, при этом признавалось наличие вероятностного знания, отличающегося от достоверного знания и от ложного. Воздействие идеи вероятности на научное мышление, на развитие познания прямо связано с разработкой теории вероятностей как математической дисциплины. Зарождение математического учения о вероятности относится к 17 в., когда было положено начало разработке ядра понятий, допускающих. количественную (числовую) характеристику и выражающих вероятностную идею.

Интенсивные приложения вероятности к развитию познания приходятся на 2-ю пол. 19- 1-ю пол. 20 в. Вероятность вошла в структуры таких фундаментальных наук о природе, как классическая статистическая физика, генетика, квантовая теория, кибернетика (теория информации). Соответственно вероятность олицетворяет тот этап в развитии науки, который ныне определяется как неклассическая наука. Чтобы раскрыть новизну, особенности вероятностного образа мышления, необходимо исходить из анализа предмета теории вероятностей и оснований ее многочисленных приложений. Теорию вероятностей обычно определяют как математическую дисциплину, изучающую закономерности массовых случайных явлений при определенных условиях. Случайность означает, что в рамках массовости бытие каждого элементарного явления не зависит и не определяется бытием других явлений. В то же время сама массовость явлений обладает устойчивой структурой, содержит определенные регулярности. Массовое явление вполне строго делится на подсистемы, и относительное число элементарных явлений в каждой из подсистем (относительная частота) весьма устойчиво. Эта устойчивость сопоставляется с вероятностью. Массовое явление в целом характеризуется распределением вероятностей, т. е. заданием подсистем и соответствующих им вероятностей. Язык теории вероятностей есть язык вероятностных распределений. Соответственно теорию вероятностей и определяют как абстрактную науку об оперировании распределениями.

Вероятность породила в науке представления о статистических закономерностях и статистических системах. Последние суть системы, образованные из независимых или квазинезависимых сущностей, их структура характеризуется распределениями вероятностей. Но как возможно образование систем из независимых сущностей? Обычно предполагается, что для образования систем, имеющих целостные характеристики, необходимо, чтобы между их элементами существовали достаточно устойчивые связи, которые цементируют системы. Устойчивость статистическим системам придает наличие внешних условий, внешнего окружения, внешних, а не внутренних сил. Само определение вероятности всегда опирается на задание условий образования исходного массового явления. Еще одной важнейшей идеей, характеризующей вероятностную парадигму, является идея иерархии (субординации). Эта идея выражает взаимоотношения между характеристиками отдельных элементов и целостными характеристиками систем: последние как бы надстраиваются над первыми.

Значение вероятностных методов в познании заключается в том, что они позволяют исследовать и теоретически выражать закономерности строения и поведения объектов и систем, имеющих иерархическую, «двухуровневую» структуру.

Анализ природы вероятности опирается на частотную, статистическую ее трактовку. Вместе с тем весьма длительное время в науке господствовало такое понимание вероятности, которое получило название логической, или индуктивной, вероятности. Логическую вероятность интересуют вопросы обоснованности отдельного, индивидуального суждения в определенных условиях. Можно ли оценить степень подтверждения (достоверности, истинности) индуктивного заключения (гипотетического вывода) в количественной форме? В ходе становления теории вероятностей такие вопросы неоднократно обсуждались, и стали говорить о степенях подтверждения гипотетических заключений. Эта мера вероятности определяется имеющейся в распоряжении данного человека информацией, его опытом, воззрениями на мир и психологическим складом ума. Во всех подобных случаях величина вероятности не поддается строгим измерениям и практически лежит вне компетенции теории вероятностей как последовательной математической дисциплины.

Объективная, частотная трактовка вероятности утверждалась в науке со значительными трудностями. Первоначально на понимание природы вероятности оказали сильное воздействие те философско-методологические взгляды, которые были характерны для классической науки. Исторически становление вероятностных методов в физике происходило под определяющим воздействием идей механики: статистические системы трактовались просто как механические. Поскольку соответствующие задачи не решались строгими методами механики, то возникли утверждения, что обращение к вероятностным методам и статистическим закономерностям есть результат неполноты наших знаний. В истории развития классической статистической физики предпринимались многочисленные попытки обосновать ее на основе классической механики, однако все они потерпели неудачу. Основания вероятности состоят в том, что она выражает собою особенности структуры определенного класса систем, иного, чем системы механики: состояние элементов этих систем характеризуется неустойчивостью и особым (не сводящимся к механике) характером взаимодействий.

Вхождение вероятности в познание ведет к отрицанию концепции жесткого детерминизма, к отрицанию базовой модели бытия и познания, выработанных в процессе становления классической науки. Базовые модели, представленные статистическими теориями, носят иной, более общий характер: они включают в себя идеи случайности и независимости. Идея вероятности связана с раскрытием внутренней динамики объектов и систем, которая не может быть всецело определена внешними условиями и обстоятельствами.

Концепция вероятностного видения мира, опирающаяся на абсолютизацию представлений о независимости (как и прежде парадигма жесткой детерминации), в настоящее время выявила свою ограниченность, что наиболее сильно сказывается при переходе современной науки к аналитическим методам исследования сложноорганизованных систем и физико-математических основ явлений самоорганизации.

Отличное определение

Неполное определение ↓

Вероя́тность - степень (относительная мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае - маловероятным или невероятным. Перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может быть в различной степени, вследствие чего вероятность (и невероятность) бывает большей либо меньшей. Поэтому часто вероятность оценивается на качественном уровне, особенно в тех случаях, когда более или менее точная количественная оценка невозможна или крайне затруднительна. Возможны различные градации «уровней» вероятности.
Исследование вероятности с математической точки зрения составляет особую дисциплину - теорию вероятностей. В теории вероятностей и математической статистике понятие вероятности формализуется как числовая характеристика события - вероятностная мера (или её значение) - мера на множестве событий (подмножеств множества элементарных событий), принимающая значения от
{\displaystyle 0}
{\displaystyle 1}
Значение
{\displaystyle 1}
Соответствует достоверному событию. Невозможное событие имеет вероятность 0 (обратное вообще говоря не всегда верно). Если вероятность наступления события равна
{\displaystyle p}
То вероятность его ненаступления равна
{\displaystyle 1-p}
В частности, вероятность
{\displaystyle 1/2}
Означает равную вероятность наступления и ненаступления события.
Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности исходов. В качестве вероятности выступает отношение количества исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу равновозможных исходов. Например, вероятность выпадения «орла» или «решки» при случайном подбрасывании монетки равна 1/2, если предполагается, что только эти две возможности имеют место и они являются равновозможными. Данное классическое «определение» вероятности можно обобщить на случай бесконечного количества возможных значений - например, если некоторое событие может произойти с равной вероятностью в любой точке (количество точек бесконечно) некоторой ограниченной области пространства (плоскости), то вероятность того, что оно произойдет в некоторой части этой допустимой области равна отношению объёма (площади) этой части к объёму (площади) области всех возможных точек.
Эмпирическое «определение» вероятности связано с частотой наступления события исходя из того, что при достаточно большом числе испытаний частота должна стремиться к объективной степени возможности этого события. В современном изложении теории вероятностей вероятность определяется аксиоматически, как частный случай абстрактной теории меры множества. Тем не менее, связующим звеном между абстрактной мерой и вероятностью, выражающей степень возможности наступления события, является именно частота его наблюдения.
Вероятностное описание тех или иных явлений получило широкое распространение в современной науке, в частности в эконометрике, статистической физике макроскопических (термодинамических) систем, где даже в случае классического детерминированного описания движения частиц детерминированное описание всей системы частиц не представляется практически возможным и целесообразным. В квантовой физике сами описываемые процессы имеют вероятностную природу.

ТЕМА 1 . Классическая формула вычисления вероятности.

Основные определения и формулы:

Эксперимент, исход которого невозможно предсказать, называют случайным экспериментом (СЭ).

Событие, которое в данном СЭ может произойти, а может и не произойти, называют случайным событием .

Элементарными исходами называют события, удовлетворяющие требованиям:

1.при всякой реализации СЭ происходит один и только один элементарный исход;

2.всякое событие есть некоторая комбинация, некоторый набор элементарных исходов.

Множество всех возможных элементарных исходов полностью описывает СЭ. Такое множество принято называть пространством элементарных исходов (ПЭИ). Выбор ПЭИ для описания данного СЭ неоднозначен и зависит от решаемой задачи.

Р(А) = n (A ) / n ,

где n – общее число равновозможных исходов,

n (A ) – число исходов, составляющих событие А, как говорят еще, благоприятствующих событию А.

Слова “наудачу”, “наугад”, “случайным образом” как раз и гарантируют равновозможность элементарных исходов.

Решение типовых примеров

Пример 1. Из урны, содержащей 5 красных, 3 черных и 2 белых шара, наудачу извлекают 3 шара. Найти вероятности событий:

А – “все извлеченные шары красные”;

В – “ все извлеченные шары – одного цвета”;

С – “среди извлеченных ровно 2 черных”.

Решение:

Элементарным исходом данного СЭ является тройка (неупорядоченная!) шаров. Поэтому, общее число исходов есть число сочетаний: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).

Событие А состоит только из тех троек, которые извлекались из пяти красных шаров, т.е. n (A )== 10.

Событию В кроме 10 красных троек благоприятствуют еще и черные тройки, число которых равно= 1. Поэтому: n (B )=10+1=11.

Событию С благоприятствуют те тройки шаров, которые содержат 2 черных и один не черный. Каждый способ выбора двух черных шаров может комбинироваться с выбором одного не черного (из семи). Поэтому: n (C ) = = 3 * 7 = 21.

Итак: Р(А) = 10/120; Р(В) = 11/120; Р(С) = 21/120.

Пример 2. В условиях предыдущей задачи будем считать, что шары каждого цвета имеют свою нумерацию, начиная с 1. Найти вероятности событий:

D – “максимальный извлеченный номер равен 4”;

Е – “ максимальный извлеченный номер равен 3”.

Решение:

Для вычисления n (D ) можно считать, что в урне есть один шар с номером 4, один шар с большим номером и 8 шаров (3к+3ч+2б) с меньшими номерами. Событию D благоприятствуют те тройки шаров, которые обязательно содержат шар с номером 4 и 2 шара с меньшими номерами. Поэтому: n (D ) =

P (D ) = 28/120.

Для вычисления n (Е) считаем: в урне два шара с номером 3, два с большими номерами и шесть шаров с меньшими номерами (2к+2ч+2б). Событие Е состоит из троек двух типов:

1.один шар с номером 3 и два с меньшими номерами;

2.два шара с номером 3 и один с меньшим номером.

Поэтому: n (E )=

Р(Е) = 36/120.

Пример 3. Каждая из М различных частиц бросается наудачу в одну из N ячеек. Найти вероятности событий:

А – все частицы попали во вторую ячейку;

В – все частицы попали в одну ячейку;

С – каждая ячейка содержит не более одной частицы (M £ N );

D – все ячейки заняты (M =N +1);

Е – вторая ячейка содержит ровно к частиц.

Решение:

Для каждой частицы имеется N способов попасть в ту или иную ячейку. По основному принципу комбинаторики для М частиц имеем N *N *N *…*N (М-раз). Итак, общее число исходов в данном СЭ n = N M .

Для каждой частицы имеем одну возможность попасть во вторую ячейку, поэтому n (A ) = 1*1*…*1= 1 М = 1, и Р(А) = 1/ N M .

Попасть в одну ячейку (всем частицам) означает попасть всем в первую, или всем во вторую, или и т.д. всем в N -ю. Но каждый из этих N вариантов может осуществиться одним способом. Поэтому n (B )=1+1+…+1(N -раз)=N и Р(В)=N /N M .

Событие С означает, что у каждой частицы число способов размещения на единицу меньше, чем у предыдущей частицы, а первая может попасть в любую из N ячеек. Поэтому:

n (C ) = N *(N -1)*…*(N +M -1) и Р(С) =

В частном случае при M =N : Р(С)=

Событие D означает, что одна из ячеек содержит две частицы, а каждая из (N -1) оставшихся ячеек содержит по одной частице. Чтобы найти n (D ) рассуждаем так: выберем ячейку в которой будет две частицы, это можно сделать =N способами; затем выберем две частицы для этой ячейки, для этого существует способов. После этого оставшиеся (N -1) частиц распределим по одной в оставшиеся (N -1) ячеек, для этого имеется (N -1)! способов.

Итак, n (D ) =

Число n (E ) можно подсчитать так: к частиц для второй ячейки можно способами, оставшиеся (М – К) частиц распределяются произвольным образом по (N -1) ячейке (N -1) М-К способами. Поэтому:

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Долгое время теория вероятностей не имела четкого определения. Оно было сформулировано лишь в 1929 году. Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Французские математики XVII века Блез Паскаль и Пьер Ферма, исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.

Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат определенные закономерности. Теория вероятности изучает данные закономерности.

Теория вероятностей занимается изучением событий, наступление которых достоверно неизвестно. Она позволяет судить о степени вероятности наступления одних событий по сравнению с другими.

Например: определить однозначно результат выпадения «орла» или «решки» в результате подбрасывания монеты нельзя, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число «орлов» и «решек», что означает, что вероятность того, что выпадет «орел» или «решка», равна 50%.

Испытанием в этом случае называется реализация определенного комплекса условий, то есть в данном случае подбрасывание монеты. Испытание может воспроизводиться неограниченное количество раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы.

Результатом испытания является событие . Событие бывает:

Достоверное (всегда происходит в результате испытания).
Невозможное (никогда не происходит).
Случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).

Например, при подбрасывании монеты невозможное событие - монета станет на ребро, случайное событие - выпадение «орла» или «решки». Конкретный результат испытания называется элементарным событием . В результате испытания происходят только элементарные события. Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется пространством элементарных событий .

Основные понятия теории

Вероятность - степень возможности происхождения события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае - маловероятным или невероятным.

Случайная величина - это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Например: число на пожарную станцию за сутки, число попадания при 10 выстрелах и т.д.

Случайные величины можно разделить на две категории.

Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате испытания может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы). Это множество может быть как конечным, так и бесконечным. Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.
Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, что количество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Вероятностное пространство - понятие, введенное А.Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплине.

Вероятностное пространство - это тройка (иногда обрамляемая угловыми скобками: , где

Это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
- сигма-алгебра подмножеств , называемых (случайными) событиями;
- вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что .

Теорема Муавра-Лапласа - одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812 году. Она утверждает, что число успехов при многократном повторении одного и того же случайного эксперимента с двумя возможными исходами приблизительно имеет нормальное распределение. Она позволяет найти приближенное значение вероятности.

Если при каждом из независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события равна () и - число испытаний, в которых фактически наступает, то вероятность справедливости неравенства близка (при больших ) к значению интеграла Лапласа.

Функция распределения в теории вероятностей - функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное х, где х - произвольное действительное число. При соблюдении известных условий полностью определяет случайную величину.

Математическое ожидание - среднее значение случайной величины (это распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей). В англоязычной литературе обозначается через , в русской - . В статистике часто используют обозначение .

Пусть задано вероятностное пространство и определенная на нем случайная величина . То есть, по определению, - измеримая функция. Тогда, если существует интеграл Лебега от по пространству , то он называется математическим ожиданием, или средним значением и обозначается .

Дисперсия случайной величины - мера разброса данной случайной величины, т. е. ее отклонения от математического ожидания. Обозначается в русской литературе и в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или . Квадратный корень из дисперсии называется среднеквадратичным отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом.

Пусть - случайная величина, определенная на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ обозначает математическое ожидание.

В теории вероятностей два случайных события называются независимыми , если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Аналогично, две случайные величины называют зависимыми , если значение одной из них влияет на вероятность значений другой.

Простейшая форма закона больших чисел – это теорема Бернулли, утверждающая, что если вероятность события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний частота события стремится к вероятности события и перестает быть случайной.

Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что среднее арифметическое конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему математическому ожиданию этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти наверняка.

Общий смысл закона больших чисел - совместное действие большого числа одинаковых и независимых случайных факторов приводит к результату, в пределе не зависящему от случая.

На этом свойстве основаны методы оценки вероятности на основе анализа конечной выборки. Наглядным примером является прогноз результатов выборов на основе опроса выборки избирателей.

Центральные предельные теоремы - класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения.

Что такое вероятность?

Столкнувшись с этим термином первый раз, я бы не понял, что это такое. Поэтому попытаюсь объяснить доступно.

Вероятность - это шанс того, что произойдет нужное нам событие.

Например, ты решил зайти к знакомому, помнишь подъезд и даже этаж на котором он живет. А вот номер и расположение квартиры забыл. И вот стоишь ты на лестничной клетке, а перед тобой двери на выбор.

Каков шанс (вероятность) того, что если ты позвонишь в первую дверь, тебе откроет твой друг? Всего квартиры, а друг живет только за одной из них. С равным шансом мы можем выбрать любую дверь.

Но каков этот шанс?

Дверей, нужная дверь. Вероятность угадать, позвонив в первую дверь: . То есть один раз из трех ты точно угадаешь.

Мы хотим узнать, позвонив раз, как часто мы будем угадывать дверь? Давай рассмотри все варианты:

Ты позвонил в 1ю дверь
Ты позвонил в 2ю дверь
Ты позвонил в 3ю дверь

А теперь рассмотрим все варианты, где может находиться друг:

а. За 1ой дверью
б. За 2ой дверью
в. За 3ей дверью

Сопоставим все варианты в виде таблицы. Галочкой обозначены варианты, когда твой выбор совпадает с местоположением друга, крестиком - когда не совпадает.

Как видишь всего возможно вариантов местоположения друга и твоего выбора, в какую дверь звонить.

А благоприятных исходов всего . То есть раза из ты угадаешь, позвонив в дверь раз, т.е. .

Это и есть вероятность - отношение благоприятного исхода (когда твой выбор совпал с местоположение друга) к количеству возможных событий.

Определение - это и есть формула. Вероятность принято обозначать p, поэтому:

Такую формулу писать не очень удобно, поэтому примем за - количество благоприятных исходов, а за - общее количество исходов.

Вероятность можно записывать в процентах, для этого нужно умножить получившийся результат на:

Наверное, тебе бросилось в глаза слово «исходы». Поскольку математики называют различные действия (у нас такое действие - это звонок в дверь) экспериментами, то результатом таких экспериментов принято называть исход.

Ну а исходы бывают благоприятные и неблагоприятные.

Давай вернемся к нашему примеру. Допустим, мы позвонили в одну из дверей, но нам открыл незнакомый человек. Мы не угадали. Какова вероятность, что если позвоним в одну из оставшихся дверей, нам откроет наш друг?

Если ты подумал, что, то это ошибка. Давай разбираться.

У нас осталось две двери. Таким образом, у нас есть возможные шаги:

1) Позвонить в 1-ую дверь
2) Позвонить во 2-ую дверь

Друг, при всем этом, точно находится за одной из них (ведь за той, в которую мы звонили, его не оказалось):

а) Друг за 1-ой дверью
б) Друг за 2-ой дверью

Давай снова нарисуем таблицу:

Как видишь, всего есть варианта, из которых - благоприятны. То есть вероятность равна.

А почему не?

Рассмотренная нами ситуация - пример зависимых событий. Первое событие - это первый звонок в дверь, второе событие - это второй звонок в дверь.

А зависимыми они называются потому что влияют на следующие действия. Ведь если бы после первого звонка в дверь нам открыл друг, то какова была бы вероятность того, что он находится за одной из двух других? Правильно, .

Но если есть зависимые события, то должны быть и независимые ? Верно, бывают.

Хрестоматийный пример - бросание монетки.

Бросаем монетку раз. Какова вероятность того, что выпадет, например, орел? Правильно - , ведь вариантов всего (либо орел, либо решка, пренебрежем вероятностью монетки встать на ребро), а устраивает нас только.
Но выпала решка. Ладно, бросаем еще раз. Какова сейчас вероятность выпадения орла? Ничего не изменилось, все так же. Сколько вариантов? Два. А сколько нас устраивает? Один.

И пусть хоть тысячу раз подряд будет выпадать решка. Вероятность выпадения орла на раз будет все также. Вариантов всегда, а благоприятных - .

Отличить зависимые события от независимых легко:

Если эксперимент проводится раз (раз бросают монетку, 1 раз звонят в дверь и т.д.), то события всегда независимые.
Если эксперимент проводится несколько раз (монетку бросают раз, в дверь звонят несколько раз), то первое событие всегда независимое. А дальше, если количество благоприятных или количество всех исходов меняется, то события зависимые, а если нет - независимые.

Давай немного потренируемся определять вероятность.

Пример 1.

Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что два раза подряд выпадет орел?

Решение:

Рассмотрим все возможные варианты:

Орел-орел
Орел-решка
Решка-орел
Решка-решка

Как видишь, всего варианта. Из них нас устраивает только. То есть вероятность:

Если в условии просят просто найти вероятность, то ответ нужно давать в виде десятичной дроби. Если было бы указано, что ответ нужно дать в процентах, тогда мы умножили бы на.

Ответ:

Пример 2.

В коробке конфет все конфеты упакованы в одинаковую обертку. Однако из конфет - с орехами, с коньяком, с вишней, с карамелью и с нугой.

Какова вероятность, взяв одну конфету, достать конфету с орехами. Ответ дайте в процентах.

Решение:

Сколько всего возможных исходов? .

То есть, взяв одну конфету, она будет одной из, имеющихся в коробке.

А сколько благоприятных исходов?

Потому что в коробке только конфет с орехами.

Ответ:

Пример 3.

В коробке шаров. из них белые, - черные.

Какова вероятность вытащить белый шар?
Мы добавили в коробку еще черных шаров. Какова теперь вероятность вытащить белый шар?

Решение:

а) В коробке всего шаров. Из них белых.

Вероятность равна:

б) Теперь шаров в коробке стало. А белых осталось столько же - .

Ответ:

Полная вероятность

Вероятность всех возможных событий равна ().

Допустим, в ящике красных и зеленых шаров. Какова вероятность вытащить красный шар? Зеленый шар? Красный или зеленый шар?

Вероятность вытащить красный шар

Зеленый шар:

Красный или зеленый шар:

Как видишь, сумма всех возможных событий равна (). Понимание этого момента поможет тебе решить многие задачи.

Пример 4.

В ящике лежит фломастеров: зеленых, красных, синих, желтых, черный.

Какова вероятность вытащить НЕ красный фломастер?

Решение:

Давай посчитаем количество благоприятных исходов.

НЕ красный фломастер, это значит зеленый, синий, желтый или черный.

Вероятность того, что событие не произойдет, равна минус вероятность того, что событие произойдет.

Правило умножения вероятностей независимых событий

Что такое независимые события ты уже знаешь.

А если нужно найти вероятность того, что два (или больше) независимых события произойдут подряд?

Допустим мы хотим знать, какова вероятность того, что бросая монетку раза, мы два раза увидим орла?

Мы уже считали - .

А если бросаем монетку раза? Какова вероятность увидеть орла раза подряд?

Всего возможных вариантов:

Орел-орел-орел
Орел-орел-решка
Орел-решка-орел
Орел-решка-решка
Решка-орел-орел
Решка-орел-решка
Решка-решка-орел
Решка-решка-решка

Не знаю как ты, но я раза ошибся, составляя этот список. Ух! А подходит нам только вариант (первый).

Для 5 бросков можешь составить список возможных исходов сам. Но математики не столь трудолюбивы, как ты.

Поэтому они сначала заметили, а потом доказали, что вероятность определенной последовательности независимых событий каждый раз уменьшается на вероятность одного события.

Другими словами,

Рассмотрим на примере все той же, злосчастной, монетки.

Вероятность выпадения орла в испытании? . Теперь мы бросаем монетку раз.

Какова вероятность выпадения раз подряд орла?

Это правило работает не только, если нас просят найти вероятность того, что произойдет одно и то же событие несколько раз подряд.

Если бы мы хотели найти последовательность РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА, при бросках подряд, мы поступили бы также.

Вероятность выпадения решка - , орла - .

Вероятность выпадения последовательности РЕШКА-ОРЕЛ-РЕШКА-РЕШКА:

Можешь проверить сам, составив таблицу.

Правило сложения вероятностей несовместных событий.

Так стоп! Новое определение.

Давай разбираться. Возьмем нашу изношенную монетку и бросим её раза.
Возможные варианты:

Орел-орел-орел
Орел-орел-решка
Орел-решка-орел
Орел-решка-решка
Решка-орел-орел
Решка-орел-решка
Решка-решка-орел
Решка-решка-решка

Так вот несовместные события, это определенная, заданная последовательность событий. - это несовместные события.

Если мы хотим определить, какова вероятность двух (или больше) несовместных событий то мы складываем вероятности этих событий.

Нужно понять, что выпадение орла или решки - это два независимых события.

Если мы хотим определить, какова вероятность выпадения последовательности) (или любой другой), то мы пользуемся правилом умножения вероятностей.
Какова вероятность выпадения при первом броске орла, а при втором и третьем решки?

Но если мы хотим узнать, какова вероятность выпадения одной из нескольких последовательностей, например, когда орел выпадет ровно раз, т.е. варианты и, то мы должны сложить вероятности этих последовательностей.

Всего вариантов, нам подходит.

То же самое мы можем получить, сложив вероятности появления каждой последовательности:

Таким образом, мы складываем вероятности, когда хотим определить вероятность некоторых, несовместных, последовательностей событий.

Есть отличное правило, помогающее не запутаться, когда умножать, а когда складывать:

Возвратимся к примеру, когда мы подбросили монетку раза, и хотим узнать вероятность увидеть орла раз.
Что должно произойти?

Должны выпасть:
(орел И решка И решка) ИЛИ (решка И орел И решка) ИЛИ (решка И решка И орел).
Вот и получается:

Давай рассмотрим несколько примеров.

Пример 5.

В коробке лежит карандашей. красных, зеленых, оранжевых и желтых и черных. Какова вероятность вытащить красный или зеленый карандаши?

Решение:

Пример 6.

Игральную кость бросают дважды, какова вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков?

Решение.

Как мы можем получить очков?

(и) или (и) или (и) или (и) или (и).

Вероятность выпадения одной (любой) грани - .

Считаем вероятность:

Тренировка.

Думаю, теперь тебе стало понятно, когда нужно как считать вероятности, когда их складывать, а когда умножать. Не так ли? Давай немного потренируемся.

Задачи:

Возьмем карточную колоду, в которой карты, из них пик, червей, 13 треф и 13 бубен. От до туза каждой масти.

Какова вероятность вытащить трефы подряд (первую вытащенную карту мы кладем обратно в колоду и перемешиваем)?
Какова вероятность вытащить черную карту (пики или трефы)?
Какова вероятность вытащить картинку (вальта, даму, короля или туза)?
Какова вероятность вытащить две картинки подряд (первую вытащенную карту мы убираем из колоды)?
Какова вероятность, взяв две карты, собрать комбинацию - (валет, дама или король) и туз Последовательность, в которой будут вытащены карты, не имеет значения.

Ответы:

Если ты смог сам решить все задачи, то ты большой молодец! Теперь задачи на теорию вероятностей в ЕГЭ ты будешь щелкать как орешки!

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Рассмотрим пример. Допустим, мы бросаем игральную кость. Что это за кость такая, знаешь? Так называют кубик с цифрами на гранях. Сколько граней, столько и цифр: от до скольки? До.

Итак, мы бросаем кость и хотим, чтобы выпало или. И нам выпадает.

В теории вероятностей говорят, что произошло благоприятное событие (не путай с благополучным).

Если бы выпало, событие тоже было бы благоприятным. Итого может произойти всего два благоприятных события.

А сколько неблагоприятных? Раз всего возможных событий, значит, неблагоприятных из них события (это если выпадет или).

Определение:

Вероятностью называется отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий . То есть вероятность показывает, какая доля из всех возможных событий приходится на благоприятные.

Обозначают вероятность латинской буквой (видимо, от английского слова probability - вероятность).

Принято измерять вероятность в процентах (см. тему , ) . Для этого значение вероятности нужно умножать на. В примере с игральной костью вероятность.

А в процентах: .

Примеры (реши сам):

С какой вероятностью при бросании монетки выпадет орел? А с какой вероятностью выпадет решка?
С какой вероятностью при бросании игральной кости выпадет четное число? А с какой - нечетное?
В ящике простых, синих и красных карандашей. Наугад тянем один карандаш. Какова вероятность вытащить простой?

Решения:

Сколько всего вариантов? Орел и решка - всего два. А сколько из них благоприятных? Только один - орел. Значит, вероятность
С решкой то же самое: .
Всего вариантов: (сколько сторон у кубика, столько и различных вариантов). Благоприятных из них: (это все четные числа:).
Вероятность. С нечетными, естественно, то же самое.
Всего: . Благоприятных: . Вероятность: .

Полная вероятность

Все карандаши в ящике зеленые. Какова вероятность вытащить красный карандаш? Шансов нет: вероятность (ведь благоприятных событий -).

Такое событие называется невозможным .

А какова вероятность вытащить зеленый карандаш? Благоприятных событий ровно столько же, сколько событий всего (все события - благоприятные). Значит, вероятность равна или.

Такое событие называется достоверным .

Если в ящике зеленых и красных карандашей, какова вероятность вытащить зеленый или красный? Опять же. Заметим такую вещь: вероятность вытащить зеленый равна, а красный - .

В сумме эти вероятности равны ровно. То есть, сумма вероятностей всех возможных событий равна или.

Пример:

В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность не вытащить зеленый?

Решение:

Помним, что все вероятности в сумме дают. А вероятность вытащить зеленый равна. Значит, вероятность не вытащить зеленый равна.

Запомни этот прием: вероятность того, что событие не произойдет равна минус вероятность того, что событие произойдет.

Независимые события и правило умножения

Ты кидаешь монетку раза, и хочешь, чтобы оба раза выпал орел. Какова вероятность этого?

Давай переберем все возможные варианты и определим, сколько их:

Орел-Орел, Решка-Орел, Орел-Решка, Решка-Решка. Какие еще?

Всего варианта. Из них нам подходит только один: Орел-Орел. Итого, вероятность равна.

Хорошо. А теперь кидаем монетку раза. Посчитай сам. Получилось? (ответ).

Ты мог заметить, что с добавлением каждого следующего броска вероятность уменьшается в раза. Общее правило называется правилом умножения :

Вероятности независимых событий переменожаются.

Что такое независимые события? Все логично: это те, которые не зависят друг от друга. Например, когда мы бросаем монетку несколько раз, каждый раз производится новый бросок, результат которого не зависит от всех предыдущих бросков. С таким же успехом мы можем бросать одновременно две разные монетки.

Еще примеры:

Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что оба раза выпадет?
Монетку бросают раза. Какова вероятность, что в первый раз выпадет орел, а потом два раза решка?
Игрок бросает две кости. Какова вероятность, что сумма чисел на них будет равна?

Ответы:

События независимы, значит, работает правило умножения: .
Вероятность орла равна. Вероятность решки - тоже. Перемножаем:
12 может получиться только, если выпадут две -ки: .

Несовместные события и правило сложения

Несовместными называются события, которые дополняют друг друга до полной вероятности. Из названия видно, что они не могут произойти одновременно. Например, если бросаем монетку, может выпасть либо орел, либо решка.

Пример.

В коробке карандашей, среди них синих, красных, зеленых, простых, желтый, а остальные - оранжевые. Какова вероятность вытащить зеленый или красный?

Решение .

Вероятность вытащить зеленый карандаш равна. Красный - .

Благоприятных событий всего: зеленых + красных. Значит, вероятность вытащить зеленый или красный равна.

Эту же вероятность можно представить в таком виде: .

Это и есть правило сложения: вероятности несовместных событий складываются.

Задачи смешанного типа

Пример.

Монетку бросают два раза. Какова вероятность того, что результат бросков будет разный?

Решение .

Имеется в виду, что если первым выпал орел, второй должна быть решка, и наоборот. Получается, что здесь две пары независимых событий, и эти пары друг с другом несовместны. Как бы не запутаться, где умножать, а где складывать.

Есть простое правило для таких ситуаций. Попробуй описать, что должно произойти, соединяя события союзами «И» или «ИЛИ». Например, в данном случае:

Должны выпасть (орел и решка) или (решка и орел).

Там где стоит союз «и», будет умножение, а там где «или» - сложение:

Попробуй сам:

С какой вероятностью при двух бросаниях монетки оба раза выпадет одно и та же сторона?
Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что в сумме выпадет очков?

Решения:

Еще пример:

Бросаем монетку раза. Какова вероятность, что хотя-бы один раз выпадет орел?

Решение:

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Вероятность - это отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.

Независимые события

Два события независимы если при наступлении одного вероятность наступления другого не изменяется.

Полная вероятность

Вероятность всех возможных событий равна ().

Вероятность того, что событие не произойдет, равна минус вероятность того, что событие произойдет.

Правило умножения вероятностей независимых событий

Вероятность определенной последовательности независимых событий, равна произведению вероятностей каждого из событий

Несовместные события

Несовместными называются события, которые никак не могут произойти одновременно в результате эксперимента. Ряд несовместных событий образуют полную группу событий.

Вероятности несовместных событий складываются.

Описав что должно произойти, используя союзы «И» или «ИЛИ», вместо «И» ставим знак умножения, а вместо «ИЛИ» — сложения.

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 499 руб.

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!