Квантовая теория информации. Квантовая информация

Квантовая механика Принцип неопределённости Введение... Математическая формулировка … Википедия

Квантовая механика Принцип неопределённости Введение... Математическая формулировка... Основа … Википедия

Квантовая криптография метод защиты коммуникаций, основанный на принципах квантовой физики. В отличие от традиционной криптографии, которая использует математические методы, чтобы обеспечить секретность информации, квантовая криптография… … Википедия

Квантовая механика … Википедия

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия

Квантовая телепортация передача квантового состояния на расстояние при помощи разъединённой в пространстве сцепленной(запутанной) пары и классического канала связи, при которой состояние разрушается в точке отправления при проведении… … Википедия

Раздел статистической оптики, изучающий микроструктуру световых полей и оптич. явления, в к рых видна квант. природа света. Представление о квант. структуре излучения введено нем. физиком М. Планком в 1900. Статистич. структуру интерференц. поля… … Физическая энциклопедия

Связать? … Википедия

Общая теория относительности Математическая формулировка ОТО Космология Фундаментальные идеи Специальная теория относительности … Википедия

Изучает состояния микрочастиц и их систем (элементарных частиц, атомных ядер, атомов, молекул, кристаллов), изменение этих состояний во времени, а также связь величин, характеризующих состояния микрочастиц, с эксперим. макроскопич. величинами. К … Химическая энциклопедия

Книги

Квантовые вычисления и квантовая информация , Нильсен М.. Книга известных американских специалистов дает подробное и всестороннее введение в новую область исследований: изучение роли физических законов (и, особенно, законов квантовой механики) при…
Квантовая информация и квантовые вычисления. Том 2 , Дж. Прескилл. Книга Дж. Прескилла представляет собой наиболее полное современное введение в новую, бурно развивающуюся область науки - теорию квантовой информации и квантовых вычислений. Вопросы,…

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ, раздел математики, в котором изучаются общие закономерности передачи, хранения и преобразования информации в системах, подчиняющихся законам квантовой механики. Квантовая теория информации использует математические модели для исследования потенциальных возможностей таких систем, а также разрабатывает принципы их рационального и помехоустойчивого построения. Квантовая теория информации приводит к новому пониманию фундаментальных закономерностей квантовой теории, её оснований и соотношений с реальностью, а также стимулирует развитие экспериментальной физики.

Квантовая теория информации сформировалась как самостоятельная дисциплина в 1990-е годы, однако её зарождение относится к 1950-м годам и связано с появлением основ классической теории информации и помехоустойчивой связи в трудах В. А. Котельникова и К. Шеннона. На начальном этапе (1950-80-е годы) основным вопросом квантовой теории информации было выяснение фундаментальных ограничений на возможности передачи и обработки информации, обусловленных квантово-механической природой её носителя. Развитие информационных технологий в направлении микроминиатюризации, использование достижений квантовой оптики и квантовой электроники, супрамолекулярной химии, исследующей кибернетические свойства молекулярных соединений, приводят к выводу о том, что в обозримой перспективе эти ограничения станут основным препятствием для дальнейшего развития существующих технологий и принципов обработки информации. С другой стороны, появление в 1980-90-е годы идей построения квантового компьютера, квантовой криптографии и новых коммуникационных протоколов позволяет говорить не только об ограничениях, но и о новых возможностях, заключённых в использовании специфически квантовых ресурсов, так называемого квантового параллелизма, сцепленности (перепутанности) квантовых состояний и дополнительности между измерением и возмущением.

В квантовой теории информации носителем информации является состояние квантовой системы Н, которое представляет собой информационный ресурс, поскольку оно имеет статистическую неопределённость. Математическим описанием чистого состояния является оператор проектирования (проектор) Р ψ на вектор ψ из гильбертова пространства системы Н. Рассматриваются также смешанные состояния, представляющие собой статистический ансамбль чистых состояний Рψ i с вероятностями p i . Такое состояние описывается оператором плотности ρ = ∑ i p i Ρ ψ , который характеризуется следующими свойствами: ρ - положительный оператор; ρ имеет единичный след. Т.о., собственные числа λ j оператора плотности образуют распределение вероятностей. Энтропия этого распределения

называемая энтропией фон Неймана, подобно энтропии Шеннона классического источника сообщений, является мерой неопределённости, то есть информационного содержания состояния, описываемого оператором р.

При передаче классического (не квантового) сообщения по квантовому каналу связи оно записывается в квантовом состоянии посредством задания значений параметров прибора, формирующего состояние. Однако вся полнота информационного содержания квантового состояния не может быть сведена к классическому сообщению, и поэтому для информации, содержащейся в квантовом состоянии, используется специальный термин «квантовая информация». Это связано с тем, что оно содержит в себе статистику всевозможных, в том числе и взаимоисключающих (так называемых дополнительных), измерений над системой. Наиболее ярким отличием квантовой информации от классической является невозможность копирования, линейность уравнений квантовой эволюции приводит к невозможности «квантового ксерокса», то есть физического устройства, позволяющего копировать произвольную квантовую информацию.

Подобно тому, как количество классической информации может быть измерено минимальным числом двоичных символов (битов), необходимым для кодирования (сжатия) сообщения, количество квантовой информации может быть определено как минимальное число элементарных квантовых систем с двумя уровнями (q-битов, кубитов), необходимое для хранения или передачи данного ансамбля квантовых состояний при оптимальном кодировании. Для асимптотически безошибочного кодирования квантового сообщения длины n, в котором состояния Рψ i появляются с вероятностями p i , необходимое число q-битов асимптотически (при n →∞) равно nН(ρ). Это означает, что размерность квантовой системы, в которой осуществляется оптимальное сжатие квантовой информации, содержащейся в состоянии ρ, асимптотически равна 2 nH(ρ) , что даёт информационную интерпретацию энтропии фон Неймана.

В основе феномена сцепленности квантовых состояний лежат необычные (для классических систем) свойства составных квантовых систем, которые описываются тензорным (а не декартовым, как в классической механике) произведением ⊗ подсистем. Пространство составной системы AB, наряду с векторами вида ψ А ⊗ψ В, содержит и всевозможные их линейные комбинации ∑ j ψ j A ⊗ψ j B . Cocтoяния составной системы, задаваемые векторами-произведениями, называются несцепленными, а не сводящиеся к таковым - сцепленными. Сцепленность представляет собой чисто квантовое свойство, отчасти родственное классической коррелированности, однако к ней не сводящееся (говорят о корреляциях Эйнштейна - Подольского - Розена). Именно наличие сцепленных состояний противоречит гипотезе о возможности классического статистического описания квантовых систем, удовлетворяющих так называемому физическому требованию локальности. Количественная теория сцепленности представляет собой своеобразную комбинаторную геометрию тензорных произведений гильбертовых пространств.

Двойственным образом в составных квантовых системах существуют сцепленные и несцепленные наблюдаемые (измерения). Если квантовые системы А и В находятся в несцепленном состоянии, то максимальные шенноновские количества информации Ι Α , Ι В, Ι АВ о состояниях систем А, В и составной системы AB удовлетворяют в общем случае соотношению I АВ > I A + I В. Этот неклассический феномен строгой супераддитивности информации играет важную роль в теории пропускной способности квантового канала связи.

Понятие канала связи и его пропускной способности, дающей предельную скорость безошибочной передачи, играет центральную роль в информации теории. Математический подход придаёт этим понятиям универсальную значимость: например, память компьютера (классического или квантового) может рассматриваться как канал из прошлого в будущее, тогда пропускная способность даёт количественное выражение для предельной ёмкости памяти при исправлении ошибок. Важность рассмотрения квантовых каналов связи обусловливается тем, что всякий физический канал, в конечном счете, является квантовым и такой подход позволяет учесть фундаментальные квантово-механические закономерности. Существенно, что в квантовом случае понятие пропускной способности разветвляется, порождая целый спектр информационных характеристик канала, зависящих от вида передаваемой информации (квантовой или классической), а также от дополнительных ресурсов, используемых при передаче.

В квантовой теории информации квантовый канал связи задаётся отображением Ф, переводящим состояния на входе в состояния на выходе, ρ → Ф[ρ], которое даёт сжатое статистическое описание результата взаимодействия системы на входе с её окружением (шумом). Классическая пропускная способность С(Ф) определяется как максимальная скорость передачи классических сообщений через канал Ф ⊗ n с n блоками с асимптотически (при n →∞) исчезающей ошибкой и равна максимальному количеству информации Шеннона, которое может быть получено применением произвольных кодирований классических сообщений в состояния на входе и квантовых измерений - декодирований на выходе канала. Для величины С(Ф) получено явное выражение через энтропийные характеристики канала, составляющее содержание теоремы кодирования Холево - Шумахера - Вестморленда.

Классическая пропускная способность канала Ф может быть увеличена путём использования сцепленности между входом и выходом канала, при этом одна только сцепленность не позволяет передавать информацию, сцепленность играет роль «катализатора», выявляющего скрытые информационные ресурсы квантовой системы. Если Ф - идеальный канал, т. е. канал без шума, то выигрыш в пропускной способности, доставляемый так называемым сверхплотным кодированием, двукратен. Чем более канал отличается от идеального, тем выигрыш больше и асимптотически (для каналов с очень большими шумами) может быть сколь угодно большим. Соответствующая максимальная скорость передачи С еа (Ф) носит название классической пропускной способности с использованием сцепленного состояния; для неё также имеется явная формула, полученная американскими учёными Ч. Беннеттом, П. Шором, Дж. Смолином и А. Таплиялом.

Само преобразование квантового состояния ρ → Ф[ρ] можно рассматривать как передачу квантовой информации. Теория предсказывает возможность нетривиального способа передачи, при котором состояния физически не пересылаются, а передаётся лишь некоторая классическая информация (так называемая квантовая телепортация). При этом необходимым дополнительным ресурсом вновь является сцепленность между входом и выходом канала связи. Свести передачу произвольного квантового состояния только к передаче классической информации, не используя дополнительного квантового ресурса, невозможно: поскольку классическая информация копируема, это означало бы возможность копирования и квантовой информации.

В связи с разработкой квантовых кодов, исправляющих ошибки, возник вопрос об асимптотически (при n→∞) безошибочной передаче квантовой информации каналом Ф ⊗ n . При этом квантовая пропускная способность Q(Ф) определяется как максимальная скорость передачи квантовой информации. Изучение квантовой пропускной способности основано на аналогии между квантовым каналом и классическим каналом с перехватом, причём в квантовом случае роль перехватчика информации играет окружение рассматриваемой системы. Оказалось, что величина Q(Ф) связана с криптографическими характеристиками канала, такими как пропускная способность для секретной передачи классической информации С р (Ф) и скорость распределения случайного ключа. Пропускные способности канала Ф связаны соотношениями Q(Φ) ≤ С р (Ф) ≤ С(Ф) ≤ С еа (Ф).

Большой раздел квантовой теории информации связан с исследованиями систем с непрерывными переменными, основанных на принципах квантовой оптики. Для них получен ряд результатов, касающихся пропускных способностей, сцепленности состояний и других информационных характеристик. Многие эксперименты по квантовой обработке информации, включая сверхплотное кодирование и телепортацию фотонных состояний, а также квантовые криптографические протоколы, реализованы именно в таких системах. Смотри также Квантовая связь.

Лит.: Bennett С. Н., Shor Р. W. Quantum information theory // Transactions on Information Theory. 1998. Vol. 44. № 6; Валиев К. А., Кокин А. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. М., 2001; Физика квантовой информации / Под редакцией Д. Боумейстера и др. М., 2002; Холево А. С. Введение в квантовую теорию информации. М., 2002; он же. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. 2-е изд. М., 2003; Нильсен М. А., Чуанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. М., 2006; Hayashi М. Quantum information: an introduction. В.; N. Y., 2006.

Один из основоположников квантовой теории информации член-корреспондент РАН Александр Холево считает, что мы, возможно, приблизились к границам познания

К вантовый компьютер - одна из самых обсуждаемых тем науки. К сожалению, пока дальше отдельных экспериментов, которые ведутся во многих странах мира, включая Россию, дело не пошло, хотя результаты их многообещающие.

Параллельно, но с существенно большим успехом, идет создание систем квантовой криптографии. Такие системы уже находятся на стадии опытной реализации.

В основе самой идеи о возможности создания квантового компьютера и систем квантовой криптографии лежит квантовая теория информации. Один из ее основоположников - Александр Холево , российский математик, член-корреспондент РАН, заведующий отделом теории вероятностей и математической статистики Математического института им. В. А. Стеклова РАН. В 2016 году он получил Премию Шеннона, самую престижную в области теории информации, которую присуждает Институт инженеров электротехники и электроники - IEEE. Еще в 1973 году Холево сформулировал и доказал теорему, получившую его имя и легшую в основу квантовой криптографии: она устанавливает верхний предел количества информации, которое может быть извлечено из квантовых состояний.

Вы сформулировали свою наиболее известную теорему в 1973 году. Насколько я помню, в общественном пространстве не звучало тогда таких слов, как квантовая теория информации. Почему вы ею заинтересовались?

Действительно, тогда, да и потом еще некоторое время, в общественном пространстве она не звучала, но в научной литературе именно тогда, в 1960-х - начале 1970-х годов, стали появляться публикации, посвященные вопросу, какие фундаментальные ограничения налагает квантовая природа носителя информации (например, поля излучения лазера) на ее передачу. Вопрос о фундаментальных ограничениях возник неслучайно, почти сразу после создания Клодом Шенноном основ теории информации. Кстати, в 2016 году исполнилось сто лет со дня его рождения, а его знаменитая работа по теории информации появилась в 1948 году. И уже в 1950-е годы специалисты начали задумываться о квантовых ограничениях. Одной из первых была статья Дениса Габора (который получил Нобелевскую премию за изобретение голографии). Он поставил такой вопрос: какие принципиальные ограничения квантовая природа электромагнитного поля накладывает на передачу и воспроизведение информации? Ведь электромагнитное поле - это основной носитель информации: в виде света, радиоволн или на других частотах.

Если есть канал связи, который рассматривается как квантовый, то шенноновское количество классической информации, которое может передаваться по такому каналу, ограничено сверху некой совершенно конкретной величиной

После этого стали появляться физические работы на эту тему. Тогда это называлось не квантовой теорией информации, а Quantum Communication, то есть квантовой теорией передачи сообщений. Из отечественных ученых, уже тогда заинтересовавшихся этой проблематикой, я бы назвал Руслана Леонтьевича Стратоновича. Это был крупный специалист по статистической термодинамике, который писал и на эти темы.

В конце 1960-х я защитил кандидатскую диссертацию по математической статистике случайных процессов, стал думать, что делать дальше, и наткнулся на работы по этой проблематике. Я увидел, что это огромное поле деятельности, если, с одной стороны, подойти к этим задачам с точки зрения математических основ квантовой теории, а с другой - использовать то, что я знаю о математической статистике. Этот синтез оказался весьма плодотворным.

Суть теоремы, доказанной мною в 1973 году, состоит в следующем: если есть канал связи, который рассматривается как квантовый, то шенноновское количество классической информации, которое может передаваться по такому каналу, ограничено сверху некой совершенно конкретной величиной - ее потом стали называть χ-количество (хи-количество). По существу, все каналы связи являются квантовыми, только в большинстве случаев их «квантовостью» можно пренебречь. Но если температура шума в канале очень низкая или сигнал очень слабый (например, сигнал от удаленной звезды или гравитационная волна), то появляется необходимость учитывать квантово-механические погрешности, возникающие из-за наличия квантового шума.

- Ограничено сверху, то есть речь идет о максимальном объеме передаваемой информации?

Да, о максимальном количестве информации. Я занялся этим вопросом потому, что это была, по существу, математическая задача. О существовании такого неравенства физики догадывались, оно было сформулировано в качестве предположения и фигурировало в таком качестве не меньше десятка лет, а может, и больше. Противоречащих примеров найти не удавалось, а доказательство не получалось, я и решил этим заняться. Первым делом предположение надо было сформулировать математически, чтобы действительно доказать его как теорему. После этого прошла еще пара лет, пока как-то в метро мне не пришло озарение. В результате получилось это неравенство. А в 1996 году мне удалось показать, что эта верхняя граница достижима в пределе очень длинных сообщений, то есть она дает пропускную способность канала.

Важно, что эта верхняя граница для информации не зависит от того, каким способом меряется выход. Эта граница, в частности, нашла важные применения в квантовой криптографии. Если есть секретный канал связи и некий злоумышленник пытается его подслушать (такого злоумышленника обычно называют Евой от англ. eavesdropper - подслушивающий), то неизвестно, каким способом Ева подслушивает. Но то количество информации, которое она все-таки ухитряется украсть, ограничено сверху этой абсолютной величиной, не зависящей от способа измерения. Знание этой величины используется для усиления секретности передачи.

- Информация может пониматься как с математической, так и с физической точки зрения. Чем они отличаются?

В математической теории информации речь идет не о ее содержании, а о количестве. И с этой точки зрения способ физической реализации информации безразличен. Идет ли речь об изображении, музыке, тексте. Существенно лишь то, сколько памяти занимает эта информация в цифровом виде. И как ее можно закодировать наилучшим образом, обычно в двоичной форме, потому что для классической информации это наиболее удобный способ цифрового представления. Количество такой информации измеряется в двоичных единицах - битах. Если информация унифицирована таким образом, то это открывает возможности для единого подхода, не зависящего от природы носителя информации, пока мы рассматриваем только «классические» носители.

Отличительное свойство квантовой информации - невозможность ее «клонирования». Другими словами, законы квантовой механики запрещают «квантовый ксерокс». Это, в частности, делает квантовую информацию подходящим средством для передачи секретных данных

Однако переход к квантовым носителям - фотонам, электронам, атомам - открывает принципиально новые возможности, и в этом состоит один из главных посылов квантовой теории информации. Возникает новый вид информации - квантовая информация, единицей измерения которой является квантовый бит - кубит. В этом смысле «информация физична», как говорил один из отцов-основателей квантовой теории информации Рольф Ландауэр. Отличительное свойство квантовой информации -невозможность ее «клонирования». Другими словами, законы квантовой механики запрещают «квантовый ксерокс». Это, в частности, делает квантовую информацию подходящим средством для передачи секретных данных.

Надо сказать, что наш соотечественник Владимир Александрович Котельников сказал свое слово в теории информации раньше Шеннона. Он еще в 1933 году в «Материалах к первому Всесоюзному съезду по вопросам реконструкции связи» опубликовал знаменитую «теорему отсчетов». Значение этой теоремы в том, что она позволяет непрерывную информацию, аналоговый сигнал перевести в дискретную форму (отсчеты). У нас работы в этой области были обставлены большой секретностью, поэтому такого резонанса, как работы Шеннона, работы Котельникова не получили, а на Западе вообще до некоторого момента были неизвестны. Но в конце 1990-х Институт инженеров электротехники и электроники, IEEE, присудил Котельникову высшую награду - медаль имени А. Г. Белла, а немецкий Фонд Эдуарда Рейна - премию за фундаментальные исследования, а именно за теорему отсчетов.

- А почему-то о Котельникове так мало вспоминали даже у нас…

Его работы были засекречены. В частности, Котельников очень много сделал в области правительственной связи, дальней космической связи. Между прочим, Владимир Александрович интересовался и вопросами интерпретации квантовой механики, у него есть работы на эту тему.

Шеннон прославился своей статьей 1948 года по теории информации. Но первая его знаменитая работа, посвященная использованию алгебры логики и булевых функций, то есть функций двоичных переменных для анализа и синтеза электрических схем (релейных, переключательных схем), была написана еще в 1937 году, когда он был студентом Массачусетского технологического института. Иногда ее называют самой выдающейся дипломной работой двадцатого столетия.

Это была революционная идея, которая, однако, в то время витала в воздухе. И в этом у Шеннона был предшественник, советский физик Виктор Шестаков. Он работал на физфаке МГУ и предложил применение двоичной и более общей многозначной логики для анализа и синтеза электрических схем еще в 1934 году. Он тогда защитился, но не сразу опубликовал свои исследования, так как считалось, что важно получить результат, а публикация может подождать. В общем, он опубликовал свои работы только в 1941 году, уже после Шеннона.

Интересно, что в то время, в 1940–1950-е годы, так удачно получилось: все, что позволило развивать теорию информации и обеспечить ее техническую реализацию, появилось почти одновременно.

Действительно, в конце войны появились электронно-вычислительные машины. Потом почти одновременно с публикацией статьи Шеннона изобрели транзистор. Если бы не это открытие и если бы технологический прогресс затормозился в этом отношении, то идеи теории информации еще долго не находили бы применения, потому что реализовать их на огромных шкафах с радиолампами, которые нагревались и требовали Ниагару для своего охлаждения, было затруднительно. Все совпало. Можно сказать, что эти идеи возникли очень своевременно.

Фотография: Дмитрий Лыков

Шеннон получил диплом математика и одновременно диплом инженера-электрика. Он знал математику настолько, насколько нужно инженеру, и при этом у него была потрясающая инженерно-математическая интуиция. Значение работ Шеннона для математики было осознано в Советском Союзе Андреем Колмогоровым и его школой, в то время как некоторые западные математики относились к работам Шеннона достаточно высокомерно. Критиковали за то, что он нестрого пишет, что у него какие-то математические огрехи, хотя по большому счету у него серьезных огрехов не было, зато интуиция была совершенно безошибочной. Если он что-то утверждал, то обычно не выписывал общие условия, при которых это верно, но профессиональный математик, потрудившись, мог всегда найти точные формулировки и доказательства, при которых соответствующий результат будет строгим. Как правило, это были очень новые и глубокие идеи, имевшие глобальные последствия. В этом отношении его даже сравнивают с Ньютоном и Эйнштейном. Так были заложены теоретические основы для информационной эры, которая началась в середине двадцатого века.

В своих работах вы пишете о связи таких свойств квантового мира, как «дополнительность» и «сцепленность» с информацией. Поясните это, пожалуйста.

Это два основных, принципиальных свойства, которые отличают квантовый мир от классического. Дополнительность в квантовой механике состоит в том, что имеются некоторые аспекты квантово-механического явления или объекта, которые оба относятся к этому объекту, но не могут быть одновременно точно зафиксированы. Например, если фокусируется положение квантовой частицы, то импульс размывается, и наоборот. И это не только координаты и импульс. Как указал Нильс Бор, дополнительность - это свойство не только квантово-механических систем, оно проявляется и в биологических, и в социальных системах. В 1961 году в переводе на русский язык вышел замечательный сборник статей Бора «Атомная физика и человеческое познание». Там говорится, например, о дополнительности между размышлением и действием, при этом размышление является аналогом положения, а действие - аналогом импульса. Мы прекрасно знаем, что есть люди действия, есть люди размышления, и это трудно совместить в одной персоне. Существуют какие-то фундаментальные пределы, которые не позволяют совместить эти свойства. Математически дополнительность выражается в том, что для описания квантовых величин используются неперестановочные объекты, матрицы или операторы. Результат их умножения зависит от порядка сомножителей. Если мы измерим сначала одну величину, затем другую, а потом сделаем это в противоположном порядке, то получим разные результаты. Это есть следствие дополнительности, и ничего подобного в классическом описании мира не существует, если понимать под этим, скажем, теорию вероятностей Колмогорова. В ней, в каком порядке ни измерялись бы случайные величины, у них будет одно и то же совместное распределение. Математически это является следствием того, что случайные величины представляются не матрицами, а функциями, которые перестановочны в смысле умножения.

- Как это сказывается на теории информации?

Важнейшее следствие дополнительности состоит в том, что если вы измеряете одну величину, то возмущаете дополнительную к ней. Это работает, например, в квантовой криптографии. Если в канале связи было несанкционированное вмешательство, оно обязательно должно себя проявить. На этом принципе…

- Построена защищенность информации?

Да, один из «квантовых» способов защиты информации опирается именно на свойство дополнительности.

Второй способ использует «сцепленность» (запутанность). Сцепленность - это другое фундаментальное свойство квантовых систем, которое не имеет классических аналогов. Оно относится к составным системам. Если дополнительность проявляется и для одиночной системы, то свойство сцепленности говорит о связи между частями составной системы. Эти части могут быть пространственно разнесены, но если они находятся в сцепленном квантовом состоянии, то между их внутренними свойствами возникает некая таинственная связь, так называемая квантовая псевдотелепатия. Измеряя одну подсистему, можно как-то повлиять на другую, причем моментально, но повлиять очень тонким образом. Мера такой сцепленности определяется корреляцией Эйнштейна-Подольского-Розена. Она сильнее, чем любая классическая корреляция, но не противоречит теории относительности, которая запрещает передачу информации со скоростью, большей скорости света. Информацию передавать нельзя, а уловить эту корреляцию можно, и ее можно использовать. Второй класс криптографических протоколов как раз основан на создании и использовании сцепленности между участниками этого протокола.

- Если кто-то вмешивается, то из-за сцепленности можно узнать об этом?

Если вмешиваемся в одно, другое неизбежно это чувствует.

Сцепленность - это, наверное, передача чего-то. Любая передача происходит через что-то. Каков механизм сцепленности?

Я бы не стал говорить про механизм сцепленности. Это свойство квантово-механического описания. Если вы принимаете это описание, то сцепленность вытекает из него. Как обычно передается взаимодействие? С помощью каких-то частиц. В данном случае нет таких частиц.

Но существуют эксперименты, которые подтверждают существование этого свойства. В 1960-х ирландский физик Джон Белл вывел важное неравенство, которое позволяет экспериментально определить, существует ли квантовая сцепленность на больших расстояниях. Такие опыты были проведены, и наличие сцепленности было подтверждено экспериментально.

Если вы хотите создать непротиворечивую систему аксиом для достаточно содержательной математической теории, то она всегда будет неполна в том смысле, что в ней найдется предложение, истинность или ложность которого недоказуемы

Явление сцепленности действительно очень контринтуитивно. Его квантово-механическое объяснение не принималось некоторыми выдающимися физиками, например Эйнштейном, Де Бройлем, Шредингером… Они не принимали вероятностную интерпретацию квантовой механики, с которой связано и явление сцепленности, и считали, что должна существовать некая «более глубокая» теория, которая позволит описать результаты квантово-механических экспериментов, в частности наличие сцепленности «реалистически», как, скажем, классическая теория поля описывает электромагнитные явления.

Тогда можно было бы гармонично сочетать это свойство с теорией относительности и даже с общей теорией относительности. В настоящее время это, пожалуй, наиболее глубокая проблема теоретической физики: как квантовую механику согласовать с требованиями общей теории относительности. Квантовая теория поля согласуется со специальной теорией относительности ценой того, что делаются поправки (перенормировки) типа вычитания «бесконечной константы». Полностью математически непротиворечивой единой теории до сих пор не существует, попытки ее построить пока что упираются в тупик. Две фундаментальные теории, которые возникли в начале двадцатого века: квантовая теория и теория относительности, - до сих пор полностью не сведены воедино.

- Мышление тоже форма обработка информации. Какова связь мышления и теории информации?

В 2015 году отмечали двухсотлетие Джорджа Буля. Это ирландский математик, который открыл исчисление функций двоичных переменных, а также алгебру логики. Он предложил придавать значение «0» ложному высказыванию, значение «1» истинному высказыванию и показал, что законы логики прекрасно описываются соответствующей алгеброй логики. Надо сказать, что импульсом для этого открытия послужило именно его желание разобраться в законах человеческого мышления. Как пишут в его биографиях, когда он был молодым человеком, его посетило мистическое откровение и он почувствовал, что должен заняться раскрытием законов человеческого мышления. Он написал две важные книги, которые в то время не были по-настоящему востребованы. Его открытия нашли широкие применения только в двадцатом веке.

- В известном смысле алгебра логики, собственно, и демонстрирует связь мышления и математики?

Можно сказать и так. Но, если говорить о связи мышления и математики, то в двадцатом веке наиболее впечатляющим достижением, говорящем о каких-то глубоких внутренних противоречиях или парадоксах, которые заложены в законах человеческого мышления, были работы Курта Гёделя, которые поставили крест на утопической и чересчур оптимистической идее Давида Гильберта аксиоматизировать всю математику. Из результатов Гёделя, в частности, следует, что такая цель в принципе недостижима. Если вы хотите создать непротиворечивую систему аксиом для какой-то достаточно содержательной математической теории, то она всегда будет неполна в том смысле, что в ней найдется предложение, истинность или ложность которого недоказуемы. В этом усматривается некоторая отдаленная параллель с принципом дополнительности в квантовой теории, которая также говорит о несовместимости некоторых свойств. Полнота и непротиворечивость оказываются взаимно дополнительными свойствами. Если эту параллель провести дальше, то можно прийти к мысли, которая, может быть, для современной науки покажется крамольной: познание имеет границы. «Смирись, гордый человек», - как сказал Федор Михайлович Достоевский. Электрон, конечно, неисчерпаем, но познание имеет границы в силу конечности того мыслительного аппарата, которым обладает человек. Да, мы еще далеко не полностью знаем все возможности, но уже где-то, в каких-то аспектах, по-видимому, приближаемся к границам. Возможно, поэтому столь сложной оказывается и проблема создания масштабируемого квантового компьютера.

Электрон, конечно, неисчерпаем, но познание имеет границы в силу конечности того мыслительного аппарата, которым обладает человек. Да, мы еще далеко не полностью знаем все возможности, но уже где-то, в каких-то аспектах, по-видимому, приближаемся к границам

Может быть, дело в том, что не просто не хватает возможностей человеческого мышления, а что мир как таковой устроен настолько внутренне противоречиво, что его нельзя познать?

Это может показать только будущее. В каком-то смысле так, и это хорошо видно на примере общественной жизни: сколько было попыток построить гармоничное общество, и, хотя они приводили к новому развитию - к сожалению, с огромными усилиями и жертвами, - гармоничное общество так и не было создано. Это внутреннее противоречие, конечно, присутствует в нашем мире. Впрочем, как учит диалектика, противоречия, отрицание отрицания - это источник развития. Между прочим, определенная диалектичность присутствует и в квантовой теории.

Конечно, то, что я сейчас говорю, противоречит существующему историческому оптимизму, грубо говоря, что можно построить «теорию всего» и все объяснить.

Людвиг Фаддеев, как он говорил в интервью мне, сторонник той точки зрения, что рано или поздно такая теория возникнет.

Такая точка зрения, вероятно, основана на экстраполяции идей Века Просвещения, кульминацией которых стал небывалый научно-технический рывок двадцатого века. Но действительность все время ставит нас перед лицом того факта, что наука может очень многое, но все же не всемогуща. Ситуация, когда разные фрагменты реальности успешно описываются различными математическими моделями, лишь в принципе согласующимися в пограничных режимах, может быть заложена в самой природе вещей.

- Вы упомянули о квантовом компьютере. А ведь его идея родилась на основе квантовой теории информации…

Идея об эффективных квантовых вычислениях высказывалась Юрием Ивановичем Маниным в 1980 году. Ричард Фейнман написал в 1984 году статью, в которой задался вопросом: поскольку моделирование сложных квантовых систем, например достаточно больших молекул, занимает все больше места и времени на обычных компьютерах, нельзя ли использовать квантовые системы для моделирования квантовых же систем?

- Исходя из того, что сложность квантовой системы адекватна сложности задачи?

Приблизительно так. Затем появились идеи квантовой криптографии, а идея квантового компьютера наиболее громко прозвучала после того, как Питер Шор предложил алгоритм разложения на множители большого составного натурального числа, основанный на идее квантового параллелизма. Почему это вызывало такой резонанс? Предположение о сложности решения подобной задачи лежит в основе современных систем шифрования с открытым ключом , которые широко используются, в частности, в интернете. Такая сложность не позволяет, даже имея суперкомпьютер, взломать шифр за сколько-нибудь обозримое время. В то же время алгоритм Шора позволяет решить эту задачу за приемлемое время (порядка нескольких суток). Этим как бы создавалась потенциальная угроза для всей системы интернета и всего, что использует такие системы шифрования. С другой стороны, было показано, что методы квантовой криптографии не поддаются взлому даже с помощью квантового компьютера, то есть они являются физически защищенными.

Еще одно важное открытие состояло в том, что можно предложить квантовые коды, исправляющие ошибки, как в классической теории информации. Почему так высококачественно хранится цифровая информация? Потому что есть коды, которые исправляют ошибки. Вы можете поцарапать компакт-диск, и все равно он будет воспроизводить запись правильно, без искажений, благодаря таким корректирующим кодам.

Аналогичная, но значительно более изощренная конструкция была предложена и для квантовых устройств. Более того, теоретически доказано, что если вероятность сбоев не превосходит некоторого порога, то можно практически любую схему, которая выполняет квантовые вычисления, сделать устойчивой к ошибкам путем добавления специальных блоков, занимающихся не только исправлением, но и внутренней безопасностью.

Не исключено, что наиболее перспективный путь - создание не большого квантового процессора, а гибридного устройства, в котором несколько кубитов взаимодействуют с классическим компьютером

Когда экспериментаторы начали работать над воплощением идей квантовой информатики, стали ясны трудности на пути их осуществления. Квантовый компьютер должен состоять из большого числа кубитов - квантовых ячеек памяти и квантовых логических процессоров, которые осуществляют операции над ними. Наш физик Алексей Устинов в 2015 году реализовал сверхпроводящий квантовый кубит. Сейчас есть схемы из десятков кубитов. Google обещает в 2017 году построить вычислительное устройство из 50 кубитов. На данном этапе важно, что физики успешно осваивают новаторские экспериментальные методы, которые позволяют «измерять и целенаправленно манипулировать индивидуальными квантовыми системами» (Нобелевская премия по физике 2012 года). В этом же направлении движутся и химики, создающие молекулярные машины (Нобелевская премия по химии 2016 года).

Практическое осуществления квантовых вычислений и других идей квантовой информатики - перспективная задача. Идет постоянная упорная работа физиков, экспериментаторов. Но пока не произошло технологического прорыва, подобного изобретению транзистора, нет квантовых технологий, которые воспроизводились бы массово и относительно дешево, подобно производству интегральных схем. Если для изготовления классического персонального компьютера можно было покупать детали в магазине и паять электронные схемы в гараже, то с квантовым так не получится.

Не исключено, что наиболее перспективный путь - создание не большого квантового процессора, а гибридного устройства, в котором нескольких кубитов взаимодействуют с классическим компьютером.

Возможно, человеческий мозг представляет собой подобный гибридный компьютер. В популярной книге английского физика Роджера Пенроуза «Новый ум короля» автор высказывает мнение, что в мозгу есть некие биофизические механизмы, способные выполнять квантовые вычисления, хотя такое мнение разделяют далеко не все. Известный швейцарский теоретик Клаус Хепп говорит, что не может представить себе, чтобы влажный и теплый мозг осуществлял квантовые операции. С другой стороны, Юрий Манин, о котором уже упоминалось, допускает, что мозг - это большой классический компьютер, в котором присутствует квантовый чип, ответственный за интуицию и другие творческие задачи. А также, вероятно, и за «свободу воли», поскольку в квантовой механике случайность заложена принципиально, в самой природе вещей.

В отличие от обычных систем (с секретным ключом), системы, допускающие открытую передачу (открытой) части ключа по незащищенному каналу связи, называют системами с открытым ключом. В таких системах открытый ключ (ключ шифрования), отличается от личного ключа (ключа расшифровывания), поэтому их иногда называют асимметричными системами или двуключевыми системами.

Рассмотрим вектор состояния кубита

и определим, сколько информации содержится в таком состоянии.

Примем интуитивную форму определения классической информации в векторе состояния. Отнесем к классической ту часть информации, которую мы имеем в классической форме, т.е. при измерении в базисе - , что означает: классическая информация может нести в таком состоянии максимум 1 бит.

Величины характеризуются тремя аналоговыми компонентами, которые можно отнести к квантовой части информации. Эти компоненты представляют собой.

Но для того что бы определить необходимо провести бесконечное множество измерений ансамбля частиц находящихся в состоянии, и определить вероятности по итогам испытаний, где:

А для определения разности фаз необходимы измерения интерференционного типа. Полное определение вектора состояния принято называть квантовой томографией.

Аналоговый характер квантовой информации принципиально важен, так как это означает. Что она образует континуум и два состояния в таком континууме могут быть преобразованы друг в друга. Так же отсюда следует, что процессы вычислений квантовой информации протекают в пространстве аналоговых переменных амплитуды при базисных состояниях.

Реализация квантового алгоритма

правление компьютером с n-кубитами реализуется преобразованием:

где и - векторы с компонентами. Очевидно что уже для n=3 вычисление даже на самом производительном компьютере станет проблемой. Еще сложнее физическая реализация

Выход из этой ситуации можно найти. Если рассмотреть возможность разложения матрицы в произведение матриц второго и четвертого порядка:

Матрица второго порядка преобразует вектор в состояние одного кубита следующим образом:

Таким образом, имеем, что каждая матрица из(1.1) описывает операцию на отдельном кубите. Матрица преобразует векторы пар кубитов:

Следовательно, числа сомножителя второго и четвертого порядков в разложении (1.1) определяют число однокубитовых и двухкубитовых операций, необходимых для реализации алгоритма. Чтобы алгоритм был эффективным, необходимо, чтобы полное число операций было полиномиальным от числа задействованных кубитов в компьютере. Если число операций возрастает экспоненциально, то такой алгоритм считается неэффективным

Универсальные наборы элементарных операций

Исходя из данных предыдущих параграфов, имеем, что однокубитовые операции описывают вращение одного кубита

Двухкубитовые операции происходят несколько иначе. Они предполагают связь двух кубитов, своего рода управление одного кубита (контролируемого) другим (контролирующим). Такая связь требует наличия физического взаимодействия между кубитами, либо включаемого на время, либо существующего постоянно.

Среди двухкубитовых операций выделяют операцию «контролируемого НЕ» (Controlled NOT - CNOT). Пусть контролирующий кубит первый, а контролируемый - второй. Тогда операция CNOT характеризуется таблицей входных и выходных состояний:

Таблица 1

Входное состояние

Выходное состояние

Из таблицы видно, что второй кубит инвертируется:

Рис. 1

В результате этой операции состояние может оказаться запутанным, если первый находится в состоянии. Диаграммный символ операции представлен на рисунке 2.1 (горизонтальные линии - оси времени, вертикальная линия - взаимодействие кубитов).

То с помощью таблицы операций легко вычислить

Обобщением контролируемой операции, является операция C-U, где U - любая однокубитовая операция. Эта операция выполняется над вторым кубитом, но только тогда, когда контролирующий кубит находится в состоянии. Так же эта операция может быть операцией изменения фазы:

Тогда операция взаимодействия двух кубитов примет вид:

Однокубитовые операции и двухкубитовая CNOT составляют универсальный набор операций для квантовых компьютеров, позволяющие описать любое преобразование вектора состояния компьютера. С точки зрения практической реализации наличие континуума операций крайне неудобно. Максимальной простотой исполнения обладает некоторый дискретный набор операций. В качестве такого предлагают использовать набор однокубитовых операций: преобразование Адамара, фазового вентиля

Фазового вентиля, и двухкубитового вентиля CNOT.

Физическая реализация квантовой операции всегда сопровождается некоторой погрешностью исполнения е. В связи с этим теория квантовой информации строится, как теория аппроксимаций.

Ошибка определяется как при выполнении операций:

Где - матрица идеального преобразования, - матрица реального преобразования, - пространство векторов стояния системы. Погрешности последовательности операций суммируются в смысле неравенства:

Убедимся в универсальности дискретного набора операций покажем возможность выполнения с их помощью любого однокубитового вращения с заданной погрешностью е.

Введем переменные.

Операторы имеют вид:

Очевидно, что

На сфере блоха значения a и b одного кубита будет иметь вид

Покажем, что с точностью до постоянной

Последовательное преобразование HTH и T будут представлять собой вращение сферы блоха на угол вокруг оси Ox, и вокруг оси Oz:

Два таких вращения эквивалентны одному вращению на угол, который можно определить из равенства, вокруг вектора.

Таким образом, получается, что именно фазы являются самыми удобными для использования.

Теперь докажем, что именно с погрешностью

Для углов покажем, что

Так же нам известно, что возможно такое вращение вокруг вектора

Отсюда и следует, что

Произвольное преобразование можно представить тремя вращениями вокруг трех осей n,m,n, каждое которых можно аппроксимировать, на угол.

Согласно теореме Соловей-Китаева, чтобы достичь погрешности необходимо совершить операций.

Кроме однокубитовых операций, двухкубитовая операция CNOT включает в себя процесс свободной эволюции двух кубитов под воздействием гамельтониана и их взаимодействия. В процессе этой эволюции один кубит управляет другим, при этом используется энергия их взаимодействия.

Отметим, что произвольное унитарное преобразование требует операций из универсального набора, другими словами число операций экспоненциально велико. По этому, эффективные алгоритмы могут быть только полиномиальными.

Александр Холево

Современным подросткам трудно представить себе мир без мобильных телефонов, компьютеров, цифровых фотокамер, MP3-плейеров и прочих атрибутов века информационных технологий. А между тем исторический момент, предопределивший принципиальный переход к "цифре", определяется довольно точно

Цифровая революция началась в 1948 г., когда был изобретен транзистор, открывший дорогу миниатюризации электронных устройств и радикальному снижению материальных и энергетических затрат на создание систем обработки информации (hardware). В том же году был опубликован основополагающий труд американского инженера-математика Клода Шеннона, отца теории информации, обосновавшей переход к цифровому представлению и цифровой обработке данных (software). Еще раньше появились работы нашего ученого В.А. Котельникова по основам помехоустойчивой связи, которые предвосхитили некоторые идеи Шеннона.

Сильной и в то же время слабой стороной классической теории информации, обеспечивающей ее универсальность, стало абстрагирование от содержания и природы передаваемых данных. Такую теорию интересуют лишь два аспекта: количество передаваемой информации и качество передачи. Названные характеристики связаны обратной зависимостью: чем точнее мы хотим передать сообщение при наличии помех в канале связи, тем более замедляется передача. Особое внимание в теории информации уделяется оптимальным характеристикам, таким как пропускная способность канала, т.е. максимально возможная скорость передачи при использовании кодирования-декодирования, обеспечивающего исправление ошибок, вызванных помехами.

Информация физична

Один из пионеров физической теории информации Рольф Ландауэр, долгие годы проработавший в IBM, утверждал, что информация физична, и отвлекаясь от ее физической природы, исследователь делает далеко не всегда оправданное допущение. Фундаментальный носитель информации - это электромагнитное поле, например в форме видимого света, либо радиоволны. В обычных условиях помехи при передаче сигнала обусловлены хаотическим поведением квантов поля (фотонов), которое имеет тепловую природу. Оказывается, снижение температуры до абсолютного нуля не приводит к полному исчезновению шума: на первый план выходят так называемые вакуумные флуктуации, обусловленные квантовой природой излучения. Квантовые свойства света особенно ярко проявляются в когерентном излучении лазера, которое отличается от излучения естественного теплового источника так же, как упорядоченная колонна солдат отличается от пестрой ярмарочной толпы. Уже в 1950-х гг. ученые задумались о фундаментальных квантовомеханических пределах точности и скорости передачи информации. Дальнейшее развитие информационных технологий, достижения квантовой оптики, электроники и супрамолекулярной химии, исследующей кибернетические свойства высокомолекулярных соединений, заставляет предположить, что в скором будущем такие ограничения станут главным препятствием для дальнейшей экстраполяции существующих технологий и принципов обработки информации.

Новые вопросы к старой теории

Чтобы облечь качественные выводы физиков в точную форму, потребовался синтез математических идей теории информации и квантовой механики. В 1960-х гг. уже существовали квантовая статистическая механика и квантовая теория поля, однако эти дисциплины нацелены на иной круг задач, связанных с динамикой квантовых систем. Так, в статистической механике возникает и широко используется ближайший родственник информации - энтропия, однако она выступает там лишь как термодинамическая характеристика. Информационный смысл квантовой энтропии был прояснен в работе Бена Шумахера, посвященной квантовому сжатию данных и опубликованной в Physical Reviews в 1995 г. Ближе всего к потребностям еще не родившейся квантовой теории информации была теория квантового измерения, над которой работал Джон фон Нейман. Однако она нуждалась в существенном усовершенствовании и развитии.

Любая схема передачи информации состоит из передатчика (возможно, включающего в себя устройство, кодирующее сообщения), канала связи и, наконец, приемника (вместе с возможным декодирующим устройством). Обычно все три названные компоненты описываются на языке классической физики и статистики. Посылаемый передатчиком сигнал (для простоты 0 или 1) подвергается в канале случайным помехам и может исказиться. Поэтому сигнал на выходе приемника не обязательно совпадает с посланным сигналом, а качество связи характеризуется вероятностью ошибки. Обычно требуется разработать такую конструкцию приемника, которая обеспечивала бы оптимальное обнаружение или оценивание посланного сигнала для заданного канала и метода передачи. Подобные задачи решаются методами теории статистических решений. Теория информации преследует более амбициозную цель: для заданного канала с помехами разработать такие методы кодирования и декодирования сигнала, которые позволили бы передавать за единицу времени как можно больше сообщений, практически неуязвимых для помех. Предельная максимальная скорость такой передачи называется пропускной способностью канала. Придуманы хитроумные методы исправления ошибок, которые пригодны для передачи и надежного хранения информации. Сцепленность играет роль "катализатора", выявляющего скрытые информационные ресурсы квантовой системы, но сама по себе не позволяет передавать информацию: это означало бы мгновенную передачу на конечное расстояние

Изучать квантовые каналы связи необходимо, т.к. всякий физический канал в конечном счете является квантовым. В квантовом мире передатчик приготовляет квантовое состояние носителя информации в зависимости от поступающего сообщения. Например, передатчиком может быть лазер, который излучает либо вертикально, либо горизонтально поляризованные фотоны. Посылаемый двоичный сигнал кодируется соответствующим состоянием поля излучения. Однако в канале связи он, как правило, искажается, и на приемник поступают состояния, отличные от посланных передатчиком. Приемник осуществляет квантовое измерение той или иной физической величины, возможно, с последующей обработкой получаемой классической информации. Конечный результат такого измерения - выходной сигнал 0 или 1, дающий более или менее достоверную оценку посланного исходного сигнала, причем качество линии связи вновь характеризуется вероятностью ошибки. Аналогия с классической линией связи очевидна. Таким образом, возникает потребность в квантовой теории статистических решений и методах оптимального оценивания параметров квантовых состояний на основании результатов измерений. Очевидна и перспектива создания методов кодирования-декодирования, учитывающих квантовомеханическую природу носителя информации, которые позволяли бы компенсировать негативное влияние квантового шума. Возвращаясь к статистической механике, заметим, что такие процедуры вызывают ассоциацию со знаменитым "демоном Максвелла", создающим порядок из беспорядка, однако перед ними ставится более скромная, зато достижимая цель: сохранение островка порядка в море хаоса. Величина этого островка и определяет пропускную способность канала связи.

Пристальное рассмотрение понятия квантового измерения с информационно- статистической точки зрения привело к новому парадоксальному выводу: добавление независимого квантового шума в наблюдения позволяет увеличить количество получаемой информации. Парадокс в том, что такого никогда не бывает в классической статистике: добавление шума (рандомизация) только портит качество наблюдений. В квантовой оптике есть пример реальной измерительной процедуры, использующей независимый источник квантового шума (своего рода квантовую рулетку). Речь идет об оптическом гетеродинировании, при котором излучение, несущее информацию, складывается с опорным излучением от независимого источника. Такого рода процедура позволяет осуществить приближенное совместное измерение обеих компонент сигнала, электрической и магнитной, несмотря на то, что квантовая теория запрещает их точную совместную измеримость. С математической точки зрения такие измерения описываются переполненными системами векторов, отличными от полных ортонормированных систем (базисов) стандартной теории измерения фон Неймана. В частности, статистика оптического гетеродинирования описывается переполненной системой когерентных векторов, столь эффективно использованных в работах нобелевского лауреата Роя Глаубера. Всякую переполненную систему векторов в пространстве H можно описать как проекцию на H базиса в некотором объемлющем пространстве K, получающемся из H добавлением независимых (рандомизующих) степеней свободы. Оказалось, что переполненные системы представляют собой лишь частный случай более общего понятия вероятностной операторнозначной меры, исследованного советским математиком М.А. Наймарком еще в 1940 гг. и нашедшего естественное место в квантовой теории статистических решений, созданной в 1970-1980-х гг.

ПРИРОДНЫЙ КВАНТОВЫЙ КОМПЬЮТЕР

Не исключено, что в природе квантовый компьютер давно уже существует. Высказывается мнение, что элементы квантового компьютинга присутствуют в человеческом мышлении, и тогда квантовая информатика открывает новые перспективы для принципиального объяснения возможных алгоритмов мышления. Остановимся на тех особенностях человеческого мышления, которые действительно вызывают ассоциации с квантовыми закономерно-стями

Способность целостного восприятия информации в противоположность разложению на составляющие свойства; возможно, глаз способен принимать не только классические состояния входящего света, но и непосредственно квантовые состояния фотонов, чем и объясняются особая мощь и пропускная способность визуальных коммуникаций, а также их органическая связь с распознаванием образов
Сходство дополнительности между действием и размышлением и квантовой дополнительностью между положением и скоростью, на которое обращал внимание еще Нильс Бор в своих физико-философских эссе. Примечательно, что при разработке концепции квантовой дополнительности Бор исходил из уже существовавшей аналогичной концепции витализма в биологии
Черты сцепленности (или нелокальности), когда информация, содержащаяся в объединении подсистем некоторой сложной системы, превосходит арифметиче- скую сумму количеств информации, получаемых из подсистем
Феномен сознания-подсознания. Трудно удержаться от такой (конечно, крайне упрощенной) аналогии: некоммутативная алгебра квантовомеханических наблюдаемых, в которой в каждый момент времени "сканируется" некоторая доступная наблюдению коммутативная (классическая) подалгебра
Органическое сочетание аналоговых и цифровых методов, эффективный параллелизм обработки информации

Разумеется, эти и другие соображения, такие как наличие интуиции и свободной воли, носят косвенный характер и не влекут с неизбежностью вывода, что в мозгу человека или в нервной системе других живых существ присутствуют "квантовые микрочипы" или другие квантово-физические механизмы, ответственные за неклассические вычисления и соответствующее поведение. Но они, возможно, свидетельствуют о том, что работа мозга принципиально несводима к функциям сколь угодно совершенного и сложного классического суперкомпьютера, и тогда теоретические модели таких систем должны принимать во внимание эту неклассичность

Эффективность математики

Квантовая теория статистических решений и информации опирается на далеко идущее логическое развитие математического аппарата квантовой физики, дополненного статистической интерпретацией. Существуют и другие интерпретации, например многомировая, но все они слишком экзотичны, чтобы серьезно конкурировать со статистической, которую называют еще "минимальной", поскольку она опирается только на возможную в принципе статистику квантовых измерений и не привлекает специальных допущений о механизме возникновения этой статистики. Статистическая интерпретация настолько органично сплавлена с математической структурой квантовой теории, что возникает как бы сама собой. Те объекты гильбертова пространства, которые ранее казались чисто математическими абстракциями, благодаря статистической интерпретации становятся двойниками физических идей и понятий. Так произошло с упомянутыми выше переполненными системами и вероятностными операторно-значными мерами, так же произошло и с абстрактным понятием вполне положительного отображения из теории операторных алгебр, которое оказалось адекватной математической моделью квантового канала с шумом.

Исторически квантовая теория информации зародилась при рассмотрении фундаментальных квантовомеханических ограничений. Простейшим из них является известное с 1920-х гг. соотношение неопределенностей Гейзенберга. В 1970-е гг. были установлены более тонкие математические факты, такие как энтропийное неравенство, ограничивающее сверху количество информации, которое может быть передано носителем, подчиняющимся законам квантовой механики (например, излучением лазера). Однако в 1980-1990-е гг. ученые пришли к выводу, что квантовая теория не только вводит свои ограничения, но и открывает принципиально новые возможности, такие как квантовая телепортация и другие эффективные коммуникационные протоколы, физически стойкие протоколы квантовой криптографии, эффективные алгоритмы для решения трудных вычислительных задач и др. Идеи эти появились в результате логического развития аппарата квантовой теории, снабженного статистической интерпретацией, а если принять, что квантовая теория и ее минимальная интерпретация имеют неограниченную применимость, то нет оснований сомневаться и в принципиальной возможности новых эффективных приложений квантовой теории. Впрочем, все не так просто. Квантовый компьютер - это гипотетическое вычислительное устройство, использующее специфически квантовые эффекты и намного превосходящее по своим возможностям любую классическую вычислительную машину

Конференции по квантовой теории информации все еще сохраняют приятную и довольно редкую особенность: они объединяют как специалистов-теоретиков, вплоть до специалистов в весьма абстрактных разделах математики, так и физиков, непосредственно причастных к эксперименту. На одной из таких конференций ученый-экспериментатор начал доклад с иллюстрации, на которой были изображены роскошный "Кадиллак" с надписью "теория" и скромный "Трабант" - "эксперимент". Отрыв теории от экспериментальных реализаций действительно велик. Всякий эксперимент, предполагающий манипуляции состояниями индивидуальных микрочастиц, чрезвычайно сложен из-за их сверхчувствительности к любым внешним воздействиям. Более того, трудности реализации предписаний квантовой теории заложены и в самом ее фундаменте: она предоставляет математическую модель для любого реально наблюдаемого феномена микромира, однако дает лишь самые общие намеки на то, как можно двигаться в обратном направлении - от элемента математической модели к его материальному прототипу. В непревзойденном трактате Поля Дирака "Принципы квантовой механики" эта проблема описана следующим образом: "Возникает естественный вопрос: может ли быть измерена любая наблюдаемая? Теоретически на этот вопрос можно ответить - да. Практически может оказаться, что весьма затруднительно построить такой прибор, который мог бы измерять некоторую определенную наблюдаемую. Возможно, что экспериментатор не может сказать, как построить такой прибор, однако теоретик всегда может вообразить, что такое измерение может быть произведено". Другими словами, нет ни регулярного способа дать конструктивное описание соответствующей измерительной процедуры, ни даже гарантии, что такое описание возможно в принципе. Остается только верить, что оно рано или поздно будет найдено. Приведем пример из квантовой оптики. В теории хорошо известны состояния излучения с определенным числом фотонов (их называют состояниями Фока). Сегодня никто не сомневается в существовании фотонов, однако до сих пор не был известен способ генерирования таких состояний. Имелись теоретические предложения, в частности, основанные на использовании оптической обратной связи, и лишь недавно японским ученым удалось осуществить это в эксперименте. А ведь, в частности, надежность протокола квантовой криптографии основана на предположении, что секретный ключ распределяется с помощью единичных фотонов. В качестве реального источника используется слабый когерентный сигнал лазера, для которого вероятность появления более одного фотона мала. Но это оставляет лазейку для потенциального перехватчика "лишних" фотонов.

К настоящему моменту уже осуществлен ряд принципиальных опытов по квантовой обработке информации. Упомянем лишь известные эксперименты А. Цайлингера и Дж. Кимбла по телепортации состояний фотонов, а также действующие квантово- криптографические линии, реализованные группами Н. Джизена в Швейцарии и С.Н. Молоткова в России. Исследования теоретических и экспериментальных аспектов квантовой информатики ведутся во всех развитых странах, в том числе и в России.

Два отличия

Фундаментальные различия между классическим и квантовым мирами можно выразить в двух словах: дополнительность и сцепленность. Дополнительность означает наличие таких свойств одного и того же объекта, которые принципиально недоступны совместному наблюдению. Различные физические измерения микрообъектов осуществляются разными макроскопическими экспериментальными установками, каждая из которых предполагает сложную и специфичную организацию пространственно-временной среды. Способы такой организации, отвечающие разным наблюдаемым свойствам, могут быть взаимно исключающими, т.е. дополнительными. На языке математики взаимно дополнительные величины, такие как координата и импульс, электрическое и магнитное поля, компоненты спина, изображаются неперестановочными (некоммутирующими) операторами. Для них имеют место соотношения неопределенностей, запрещающие точную совместную измеримость, так что именно дополнительность ответственна за специфические ограничения информационного характера.

Дополнительность также приводит к тому, что состояния квантовой системы не могут быть заданы простым перечислением свойств, т.е. точкой в каком-либо фазовом пространстве. Вместо этого состояния описываются векторами в некотором линейном (гильбертовом) пространстве H, причем всякая суперпозиция (линейная комбинация) векторов также задает состояние.

Новые необычные возможности квантовых систем, как правило, связаны со сцепленностью (entanglement; в русской литературе используется также перевод "запутанность", "перепутанность"). В ее основе лежат необычные свойства составных квантовых систем, которые описываются тензорным (а не декартовым, как в классической механике) произведением HA Z HB пространств подсистем. В силу принципа суперпозиции пространство составной системы AB наряду с векторами-произведениями A Z B должно содержать и всевозможные их линейные комбинации. Состояния составной системы, задаваемые векторами- произведениями, называются несцепленными, а все прочие - сцепленными. Сцепленность представляет собой квантовое свойство, отчасти родственное классической коррелированности, однако к ней не сводящееся (в физике говорят о корреляциях Эйнштейна-Подольского-Розена). Сцепленные состояния - не редкость в квантовой физике: обычно они возникают в результате взаимодействия или распада квантовых систем. Однако квантовая теория не исключает возможности сцепленного состояния для пары частиц, которые, однажды провзаимодействовав, разлетелись на макроскопическое расстояние. На необычные "телепатические" свойства такой пары и указали в свое время Эйнштейн, Подольский и Розен. Недавние эксперименты подтверждают возможность искусственного создания внутренней сцепленности фотонов и даже массивных микрочастиц на расстояниях порядка нескольких метров, хотя такое явление никогда не наблюдается в естественных условиях и противно самой природе классического макроскопического мира. Тот способ описания окружающего мира, который лежит в основе доквантовых представлений о пространстве-времени, получил название "локальный реализм". На чем бы ни основывалось объединение квантовой механики и общей теории относительности - на некоммутативной геометрии, теории струн, нелинейной квантовой механике, траекторных или иных подходах - оно должно будет разрешить противоречие между квантовой сцепленностью и локальным реализмом.

Квантовые каналы и информация

Большой раздел квантовой теории информации посвящен количественной теории сцепленности. Оказывается, сцепленность можно измерять количественно, как температуру или другую физическую характеристику состояния. Более того, ее можно концентрировать, "разбавлять", пересылать; она может существовать в латентной "связанной" форме и проявляться лишь в особых обстоятельствах.

В случае составных квантовых систем имеет смысл говорить не только о сцепленных и несцепленных состояниях, но и о соответствующих измерениях. При этом если квантовые системы A и B находятся в несцепленном состоянии, то максимальное количество информации о состоянии, получаемое из измерений составной системы AB, может быть больше суммы количеств информации, получаемых из измерений систем A и B. Такая неклассическая строгая супераддитивность информации проявляется при исследовании пропускной способности квантового канала связи.

В квантовом случае само понятие пропускной способности разветвляется, порождая целый "зоопарк" информационных характеристик канала, зависящих от вида передаваемой информации (квантовой или классической), а также от дополнительных ресурсов, используемых при передаче. Остановимся кратко на четырех главных обитателях этого зоопарка. Канал задается вполне положительным отображением T, преобразующим состояния на входе в состояния на выходе. Это отображение представляет собой сжатое статистическое описание результата взаимодействия системы на входе с ее окружением (шумом). Свойство положительности гарантирует от появления отрицательных вероятностей, а наречие "вполне" означает, что положительность должна выполняться не только для самого канала T, но и для его расширений вида T T", где T" - любой другой канал, что в частности позволяет рассматривать многократное использование канала. Важнейшая характеристика квантового канала - его классическая пропускная способность C(T), т.е. предельная максимальная скорость безошибочной передачи классических сообщений при использовании оптимального кодирования/декодирования длинных сообщений. Из упомянутого выше энтропийного неравенства вытекает, что количество передаваемой классической информации не может быть больше, чем log d, где d - размерность пространства квантового носителя информации. Таким образом, то обстоятельство, что любое гильбертово пространство содержит бесконечно много различных векторов состояний, не помогает передать неограниченное количество информации: чем больше состояний используется для передачи, тем они ближе друг к другу и, следовательно, неразличимее.

Однако, как показали американские ученые Чарльз Беннетт и Питер Шор, классическая пропускная способность канала T может быть увеличена путем использования дополнительной сцепленности между входом и выходом канала. При этом сама по себе сцепленность не позволяет передавать информацию, т.к. это означало бы мгновенную передачу на конечное расстояние. Сцепленность играет роль "катализатора", выявляющего скрытые информационные ресурсы квантовой системы. Если T - канал без шума, то выигрыш в пропускной способности, обеспечиваемый сверхплотным кодированием, двукратен. Чем сильнее канал отличается от идеального, тем выигрыш больше, и для каналов с очень большим шумом может быть сколь угодно велик. Классическая пропускная способность с использованием сцепленного состояния Cea(T) - самая большая. На Европейском конгрессе математиков в Амстердаме квантовая теория информации выделена в специальное направление

При передаче классической информации по квантовому каналу сообщение записывается в квантовом состоянии. Однако вся полнота информационного содержания не может быть сведена к классическому сообщению и заслуживает специального термина - квантовая информация, т.к. квантовое состояние содержит в себе информацию о статистике всевозможных, в том числе и взаимоисключающих (дополнительных) измерений системы. Количество квантовой информации измеряется величиной энтропии состояния. Принципиальное отличие квантовой информации от классической заключается в невозможности копирования. Простое рассуждение, основанное на линейности уравнений квантовой эволюции, показывает, что не существует "квантового ксерокса", т.е. физического устройства, позволяющего копировать произвольное квантовое состояние. Однако теория предсказывает возможность нетривиального способа передачи квантовой информации, при котором носитель состояния физически не передается, а пересылается лишь некоторая классическая информация (так называемая телепортация квантового состояния). Необходимым дополнительным ресурсом вновь становится сцепленность между входом и выходом канала связи. Свести передачу произвольного квантового состояния только к передаче классической информации без использования дополнительного квантового ресурса невозможно: поскольку классическая информация копируема, это означало бы возможность копирования и квантовой информации.

Квантовая пропускная способность Q(T) - это предельное максимальное количество квантовой информации, которое может быть сколь угодно точно передано каналом T. Есть глубокая аналогия между квантовым каналом и каналом с подслушивателем, причем в квантовом случае роль перехватчика информации играет окружение рассматриваемой системы. Величина Q(T) тесно связана с криптографическими характеристиками канала, такими как пропускная способность для секретной передачи классической информации Cp(T) и скорость распределения случайного ключа. Она является самой маленькой из пропускных способностей, т.к. предъявляет к каналу наивысшие требования.

Вычисление либо оценка величин Q(T), Cp(T), C(T), Cea(T) - это важная и трудная математическая задача. В свое время появление квантовой механики оказало мощное взаимообогащающее влияние на ряд областей математики: в первую очередь на теорию операторов, операторных алгебр, представлений групп.

Процесс продолжается и сейчас, и в нем все большую роль играют достижения квантовой теории информации. Так, исследование сцепленности стимулировало прогресс в понимании геометрии тензорных произведений, а каналы и теоремы кодирования оказались тесно связаны со структурами положительности в операторных пространствах и алгебрах. Новый импульс получил некоммутативный анализ; даже в такой, казалось бы, хорошо изученной области, как теория матриц, появились новые яркие результаты и новые трудные и интересные проблемы. На Европейском конгрессе математиков 2008 г. в Амстердаме квантовая теория информации выделена в специальное направление, которому посвящен ряд приглашенных докладов.

"Мезо": на границе "микро" и "макро"

Прогресс микроэлектроники и нанотехнологий приближается к рубежу, за которым игнорировать квантовую природу носителей информации будет уже невозможно. Элементы современной вычислительной техники лишь на два-три порядка превосходят характерные атомные размеры. Почетный председатель совета директоров и основатель корпорации Intel Гордон Мур считает, что на преодоление этой разницы уйдет всего 10-15 лет. Тогда волей-неволей придется искать новые решения, и фундаментальные результаты квантовой теории информации могут сыграть решающую роль.

Квантовый компьютер - это гипотетическое вычислительное устройство, использующее специфически квантовые эффекты и поэтому намного превосходящее по своим возможностям любую классическую вычислительную машину. Его память (квантовый регистр) должна состоять из множества элементарных ячеек - кубитов, которые находятся в сцепленном состоянии, а операции предполагают управляемое квантовомеханическое взаимодействие между ними. Данные в процессе вычислений представляют собой квантовую информацию, которая по окончании процесса преобразуется в классическую путем измерения конечного состояния квантового регистра. Выигрыш в квантовых алгоритмах достигается за счет того, что при применении одной квантовой операции большое число коэффициентов суперпозиции квантовых состояний, которые в виртуальной форме содержат классическую информацию, преобразуется одновременно (квантовый параллелизм).

Квантовый компьютер находится на грани между микро- и макромиром, чем и обусловлены трудности его воплощения. Основным техническим препятствием для реализации квантового компьютера является декогерентизация - распад квантовых суперпозиций, обусловленный сверхчувствительностью микросистем к внешним воздействиям макромира. Если скорость декогерентизации не превосходит некоторого порогового значения, то применение квантовых кодов, исправляющих ошибки, теоретически позволяет сделать квантовые вычисления помехоустойчивыми. Однако при этом размер квантового регистра должен быть увеличен на порядки. Сейчас ведутся интенсивные поиски решения этих проблем: разработаны теоретические методы оптимизации архитектуры квантового компьютера, предложены схемы адиабатических вычислений, квантовых клеточных автоматов, вычислений, основанных на измерениях; обсуждается идея топологического квантового компьютера, физически устойчивого к ошибкам. Экспериментально исследуются модели кубитов, основанные на принципах ядерного магнитного резонанса, квантовой оптики и электродинамики, полупроводниковых квантовых точках, ионных ловушках, сверхпроводниковых мезо-структурах и т.д.

Квантовая информатика стала новым междисциплинарным научным направлением на стыке физики, информатики и математики, которое поднимает новые важные вопросы и дает ключ к пониманию некоторых фундаментальных закономерностей Природы, до недавних пор остававшихся вне поля зрения исследователей. Ее теоретические разработки стимулируют как новые достижения в области математики, так и развитие экспериментальной физики, значительно расширяющее возможности манипулирования состояниями микросистем и потенциально важное для появления новых эффективных технологий.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Бор Н. Атомная физика и человече-ское познание, М.: ИЛ, 1961.
Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность (2-е изд.). М.: ИКИ, 2004.
Валиев К.А. Исследования в области квантовых технологий в информатике и метрологии // Вестник РАН, 2003. Т. 73. N 5. С. 400-405.
Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. М.: УФН, 1999.
Нильсен М.А., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация (пер. с англ.). М.: Мир, 2006.
Холево А.С. Введение в квантовую теорию информации. М.: МЦНМО, 2002.
Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории (2-е изд.). М.: ИКИ, 2003.

Александр Семенович Холево - профессор, доктор физико-математических наук, работает в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН.

Область научных интересов - квантовая теория информации, квантовые вычисления; некоммутативная теория вероятностей, квантовые случайные процессы, динамические (марковские) полугруппы; статистическая структура квантовой теории, квантовые измерения.