Решение квадратных уравнений: формула корней, примеры. Квадратные уравнения. Исчерпывающий гид (2019)

Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ». Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем решение такого уравнения. Но что-то мне подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:

Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.

Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим! Содержание статьи:

Квадратное уравнение – это уравнение вида:

где коэффициенты a, b и с произвольные числа, при чём a≠0.

В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:

1. Имеют два корня.

2. *Имеют только один корень.

3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней

Как вычисляются корни? Просто!

Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:

Формулы корней имеют следующий вид:

*Эти формулы нужно знать наизусть.

Можно сразу записывать и решать:

Пример:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Давайте рассмотрим уравнение:

По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…

Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:

х 1 = 3 х 2 = 3

Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.

Теперь следующий пример:

Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.

Вот и весь процесс решения.

Квадратичная функция.

Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).

Это функция вида:

где х и у — переменные

a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0

Графиком является парабола:

То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть статью у Инны Фельдман.

Рассмотрим примеры:

Пример 1: Решить 2x 2 +8 x –192=0

а=2 b=8 c= –192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Ответ: х 1 = 8 х 2 = –12

*Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.

Пример 2: Решить x 2 –22 x+121 = 0

а=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Получили, что х 1 = 11 и х 2 = 11

В ответе допустимо записать х = 11.

Ответ: х = 11

Пример 3: Решить x 2 –8x+72 = 0

а=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.

Ответ: решения нет

Дискриминант отрицательный. Решение есть!

Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.

Понятие комплексного числа.

Немного теории.

Комплексным числом z называется число вида

z = a + bi

где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица.

a+bi – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение.

Мнимая единица равна корню из минус единицы:

Теперь рассмотрим уравнение:

Получили два сопряжённых корня.

Неполное квадратное уравнение.

Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.

Случай 1. Коэффициент b = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем:

Пример:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Случай 2. Коэффициент с = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем, раскладываем на множители:

*Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Пример:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Случай 3. Коэффициенты b = 0 и c = 0.

Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.

а x 2 + bx + c =0 выполняется равенство

a + b + с = 0, то

— если для коэффициентов уравнения а x 2 + bx + c =0 выполняется равенство

a + с = b , то

Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.

Пример 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Сумма коэффициентов равна 5001+(– 4995)+(– 6) = 0, значит

Пример 2: 2501 x 2 +2507 x +6=0

Выполняется равенство a + с = b , значит

Закономерности коэффициентов.

1. Если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 + (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = –а х 2 = –1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 6х 2 +37х+6 = 0.

х 1 = –6 х 2 = –1/6.

2. Если в уравнении ax 2 – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 – (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = а х 2 = 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 15х 2 –226х +15 = 0.

х 1 = 15 х 2 = 1/15.

3. Если в уравнении ax 2 + bx – c = 0 коэффициент «b» равен (a 2 – 1), а коэффициент «c» численно равен коэффициенту «a» , то его корни равны

аx 2 + (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = – а х 2 = 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 17х 2 +288х – 17 = 0.

х 1 = – 17 х 2 = 1/17.

4. Если в уравнении ax 2 – bx – c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 – (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = а х 2 = – 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 10х 2 – 99х –10 = 0.

х 1 = 10 х 2 = – 1/10

Теорема Виета.

Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.

Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда.

СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ

При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а ± b+c ≠ 0, то используется прием переброски, например:

2х 2 – 11х+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11х+ 10 = 0 (2)

По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что х 1 = 10 х 2 = 1

Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х 2 «перебрасывали» двойку), получим

х 1 = 5 х 2 = 0,5.

Каково обоснование? Посмотрите что происходит.

Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:

Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х 2:

У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.

Потому результат и делим на 2.

*Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.

Ответ: х 1 = 5 х 2 = 0,5

Кв. ур-ие и ЕГЭ.

О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).

Что стоит отметить!

1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись:

15+ 9x 2 - 45x = 0 или 15х+42+9x 2 - 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.

Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).

2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h и прочими.

Видеоурок 2: Решение квадратных уравнений

Лекция: Квадратные уравнения

Уравнение - это некое равенство, в выражениях которого имеется переменная.

Решить уравнение - значит найти такое число вместо переменной, которое будет приводить его в верное равенство.

Уравнение может иметь одно решение или несколько, или же не иметь его вообще.

Для решения любого уравнения его следует максимально упростить до вида:

Линейное: a*x = b;

Квадратное: a*x 2 + b*x + c = 0.

То есть любые уравнение перед решением нужно преобразовать до стандартного вида.

Любое уравнение можно решить двумя способами: аналитическим и графическим.

На графике решением уравнения считаются точки, в которых график пересекает ось ОХ.

Квадратные уравнения

a*x 2 + b*x + c = 0.

При этом a, b, c являются коэффициентами уравнения, отличающиеся от нуля. А "х" - корень уравнения. Считается, что квадратное уравнение имеет два корня или могут не иметь решения вообще. Полученные корни могут быть одинаковыми.

"а" - коэффициент, который стоит перед корнем в квадрате.

"b" - стоит перед неизвестной в первой степени.

"с" - свободный член уравнения.

Если, например, мы имеем уравнение вида:

2х 2 -5х+3=0

В нем "2" - это коэффициент при старшем члене уравнения, "-5" - второй коэффициент, а "3" - свободный член.

Решение квадратного уравнения

Существует огромное множество способов решения квадратного уравнения. Однако, в школьном курсе математики изучается решение по теореме Виета, а также с помощью дискриминанта.

Решение по дискриминанту:

При решении с помощью данного метода необходимо вычислить дискриминант по формуле:

Если при вычислениях Вы получили, что дискриминант меньше нуля, это значит, что данное уравнение не имеет решений.

Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет два одинаковых решения. В таком случае многочлен можно свернуть по формуле сокращенного умножения в квадрат суммы или разности. После чего решить его, как линейное уравнение. Или воспользоваться формулой:

Если же дискриминант больше нуля, то необходимо воспользоваться следующим методом:

Теорема Виета

Если уравнение приведенное, то есть коэффициент при старшем члене равен единице, то можно воспользоваться теоремой Виета .

Итак, предположим, что уравнение имеет вид:

Корни уравнения находятся следующим образом:

Неполное квадратное уравнение

Существует несколько вариантов получения неполного квадратного уравнения, вид которых зависит от наличия коэффициентов.

1. Если второй и третий коэффициент равен нулю (b = 0, с = 0) , то квадратное уравнение будет иметь вид:

Данное уравнение будет иметь единственное решение. Равенство будет верным только в том случае, когда в качестве решения уравнения будет ноль.

В современном обществе умение производить действия с уравнениями, содержащими переменную, возведённую в квадрат, может пригодиться во многих областях деятельности и широко применяется на практике в научных и технических разработках. Свидетельством тому может служить конструирование морских и речных судов, самолётов и ракет. При помощи подобных расчётов определяют траектории перемещения самых разных тел, в том числе и космических объектов. Примеры с решением квадратных уравнений находят применение не только в экономическом прогнозировании, при проектировании и строительстве зданий, но и в самых обычных житейских обстоятельствах. Они могут понадобиться в туристических походах, на спортивных состязаниях, в магазинах при совершении покупок и в других весьма распространённых ситуациях.

Разобьём выражение на составляющие множители

Степень уравнения определяется максимальным значением степени у переменной, которую содержит данное выражение. В случае, если она равна 2, то подобное уравнение как раз и называется квадратным.

Если изъясняться языком формул, то указанные выражения, как бы они ни выглядели, всегда можно привести к виду, когда левая часть выражения состоит из трёх слагаемых. Среди них: ax 2 (то есть переменная, возведённая в квадрат со своим коэффициентом), bx (неизвестное без квадрата со своим коэффициентом) и c (свободная составляющая, то есть обычное число). Всё это в правой части приравнивается 0. В случае, когда у подобного многочлена отсутствует одно из его составляющих слагаемых, за исключением ax 2 , оно называется неполным квадратным уравнением. Примеры с решением таких задач, значение переменных в которых найти несложно, следует рассмотреть в первую очередь.

Если выражение на вид выглядит таким образом, что слагаемых у выражения в правой части два, точнее ax 2 и bx, легче всего отыскать х вынесением переменной за скобки. Теперь наше уравнение будет выглядеть так: x(ax+b). Далее становится очевидно, что или х=0, или задача сводится к нахождению переменной из следующего выражения: ax+b=0. Указанное продиктовано одним из свойств умножения. Правило гласит, что произведение двух множителей даёт в результате 0, только если один из них равен нулю.

Пример

x=0 или 8х - 3 = 0

В результате получаем два корня уравнения: 0 и 0,375.

Уравнения такого рода могут описывать перемещение тел под действием силы тяжести, начавших движение из определённой точки, принятой за начало координат. Здесь математическая запись принимает следующую форму: y = v 0 t + gt 2 /2. Подставив необходимые значения, приравняв правую часть 0 и найдя возможные неизвестные, можно узнать время, проходящее с момента подъёма тела до момента его падения, а также многие другие величины. Но об этом мы поговорим позднее.

Разложение выражения на множители

Описанное выше правило даёт возможность решать указанные задачи и в более сложных случаях. Рассмотрим примеры с решением квадратных уравнений такого типа.

X 2 - 33x + 200 = 0

Этот квадратный трёхчлен является полным. Для начала преобразуем выражение и разложим его на множители. Их получается два: (x-8) и (x-25) = 0. В результате имеем два корня 8 и 25.

Примеры с решением квадратных уравнений в 9 классе позволяют данным методом находить переменную в выражениях не только второго, но даже третьего и четвёртого порядков.

Например: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. При разложении правой части на множители с переменной, их получается три, то есть (x+1),(x-3) и (x+3).

В результате становится очевидно, что данное уравнение имеет три корня: -3; -1; 3.

Извлечение квадратного корня

Другим случаем неполного уравнения второго порядка является выражение, на языке букв представленное таким образом, что правая часть строится из составляющих ax 2 и c. Здесь для получения значения переменной свободный член переносится в правую сторону, а после этого из обеих частей равенства извлекается квадратный корень. Следует обратить внимание, что и в данном случае корней уравнения обычно бывает два. Исключением могут служить лишь только равенства, вообще не содержащие слагаемое с, где переменная равна нулю, а также варианты выражений, когда правая часть оказывается отрицательной. В последнем случае решений вообще не существует, так как указанные выше действия невозможно производить с корнями. Примеры решений квадратных уравнений такого типа необходимо рассмотреть.

В данном случае корнями уравнения окажутся числа -4 и 4.

Вычисление пощади земельного участка

Потребность в подобного рода вычислениях появилась в глубокой древности, ведь развитие математики во многом в те далёкие времена было обусловлено необходимостью определять с наибольшей точностью площади и периметры земельных участков.

Примеры с решением квадратных уравнений, составленных на основе задач такого рода, следует рассмотреть и нам.

Итак, допустим имеется прямоугольный участок земли, длина которого на 16 метров больше, чем ширина. Следует найти длину, ширину и периметр участка, если известно, что его площадь равна 612 м 2 .

Приступая к делу, сначала составим необходимое уравнение. Обозначим за х ширину участка, тогда его длина окажется (х+16). Из написанного следует, что площадь определяется выражением х(х+16), что, согласно условию нашей задачи, составляет 612. Это значит, что х(х+16) = 612.

Решение полных квадратных уравнений, а данное выражение является именно таковым, не может производиться прежним способом. Почему? Хотя левая часть его по-прежнему содержит два множителя, произведение их совсем не равно 0, поэтому здесь применяются другие методы.

Дискриминант

Прежде всего произведём необходимые преобразования, тогда внешний вид данного выражения будет выглядеть таким образом: x 2 + 16x - 612 = 0. Это значит, мы получили выражение в форме, соответствующей указанному ранее стандарту, где a=1, b=16, c=-612.

Это может стать примером решения квадратных уравнений через дискриминант. Здесь необходимые расчёты производятся по схеме: D = b 2 - 4ac. Данная вспомогательная величина не просто даёт возможность найти искомые величины в уравнении второго порядка, она определяет количество возможных вариантов. В случае, если D>0, их два; при D=0 существует один корень. В случае, если D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

О корнях и их формуле

В нашем случае дискриминант равен: 256 - 4(-612) = 2704. Это говорит о том, что ответ у нашей задачи существует. Если знать, к , решение квадратных уравнений нужно продолжать с применением ниже приведённой формулы. Она позволяет вычислить корни.

Это значит, что в представленном случае: x 1 =18, x 2 =-34. Второй вариант в данной дилемме не может являться решением, потому что размеры земельного участка не могут измеряться в отрицательных величинах, значит х (то есть ширина участка) равна 18 м. Отсюда вычисляем длину: 18+16=34, и периметр 2(34+18)=104(м 2).

Примеры и задачи

Продолжаем изучение квадратных уравнений. Примеры и подробное решение нескольких из них будут приведены далее.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Перенесём всё в левую часть равенства, сделаем преобразование, то есть получим вид уравнения, который принято именовать стандартным, и приравняем его нулю.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Сложив подобные, определим дискриминант: D = 49 - 48 = 1. Значит у нашего уравнения будет два корня. Вычислим их согласно приведённой выше формуле, а это значит, что первый из них буде равен 4/3, а второй 1.

2) Теперь раскроем загадки другого рода.

Выясним, есть ли вообще здесь корни x 2 - 4x + 5 = 1? Для получения исчерпывающего ответа приведём многочлен к соответствующему привычному виду и вычислим дискриминант. В указанном примере решение квадратного уравнения производить не обязательно, ведь суть задачи заключается совсем не в этом. В данном случае D = 16 - 20 = -4, а значит, корней действительно нет.

Теорема Виета

Квадратные уравнения удобно решать через указанные выше формулы и дискриминант, когда из значения последнего извлекается квадратный корень. Но это бывает не всегда. Однако способов для получения значений переменных в данном случае существует множество. Пример: решения квадратных уравнений по теореме Виета. Она названа в честь который жил в XVI веке во Франции и сделал блестящую карьеру благодаря своему математическому таланту и связям при дворе. Портрет его можно увидеть в статье.

Закономерность, которую заметил прославленный француз, заключалась в следующем. Он доказал, что корни уравнения в сумме численно равны -p=b/a, а их произведение соответствует q=c/a.

Теперь рассмотрим конкретные задачи.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Для простоты преобразуем выражение:

x 2 + 7x - 18 = 0

Воспользуемся теоремой Виета, это даст нам следующее: сумма корней равна -7, а их произведение -18. Отсюда получим, что корнями уравнения являются числа -9 и 2. Сделав проверку, убедимся, что эти значения переменных действительно подходят в выражение.

График и уравнение параболы

Понятия квадратичная функция и квадратные уравнения тесно связаны. Примеры подобного уже были приведены ранее. Теперь рассмотрим некоторые математические загадки немного подробнее. Любое уравнение описываемого типа можно представить наглядно. Подобная зависимость, нарисованная в виде графика, называется параболой. Различные её виды представлены на рисунке ниже.

Любая парабола имеет вершину, то есть точку, из которой выходят её ветви. В случае если a>0, они уходят высоко в бесконечность, а когда a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Наглядные изображения функций помогают решать любые уравнения, в том числе и квадратные. Этот метод называется графическим. А значением переменной х является координата абсцисс в точках, где происходит пересечение линии графика с 0x. Координаты вершины можно узнать по только что приведённой формуле x 0 = -b/2a. И, подставив полученное значение в изначальное уравнение функции, можно узнать y 0 , то есть вторую координату вершины параболы, принадлежащую оси ординат.

Пересечение ветвей параболы с осью абсцисс

Примеров с решением квадратных уравнений очень много, но существуют и общие закономерности. Рассмотрим их. Понятно, что пересечение графика с осью 0x при a>0 возможно только если у 0 принимает отрицательные значения. А для a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. В противном случае D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

По графику параболы можно определить и корни. Верно также обратное. То есть если получить наглядное изображение квадратичной функции нелегко, можно приравнять правую часть выражения к 0 и решить полученное уравнение. А зная точки пересечения с осью 0x, легче построить график.

Из истории

С помощью уравнений, содержащих переменную, возведённую в квадрат, в старину не только делали математические расчёты и определяли площади геометрических фигур. Подобные вычисления древним были нужны для грандиозных открытий в области физики и астрономии, а также для составления астрологических прогнозов.

Как предполагают современные деятели науки, одними из первых решением квадратных уравнений занялись жители Вавилона. Произошло это за четыре столетия до наступления нашей эры. Разумеется, их вычисления в корне отличались от ныне принятых и оказывались гораздо примитивней. К примеру, месопотамские математики понятия не имели о существовании отрицательных чисел. Незнакомы им были также другие тонкости из тех, которые знает любой школьник современности.

Возможно, ещё раньше учёных Вавилона решением квадратных уравнений занялся мудрец из Индии Баудхаяма. Произошло это примерно за восемь столетий до наступления эры Христа. Правда, уравнения второго порядка, способы решения которых он привёл, были самыми наипростейшими. Кроме него, подобными вопросами интересовались в старину и китайские математики. В Европе квадратные уравнения начали решать лишь в начале XIII столетия, но зато позднее их использовали в своих работах такие великие учёные, как Ньютон, Декарт и многие другие.

Задачи на квадратное уравнение изучаются и в школьной программе и в ВУЗах. Под ними понимают уравнения вида a*x^2 + b*x + c = 0 ,где x - переменная, a,b,c – константы; a<>0 . Задача состоит в отыскании корней уравнения.

Геометрический смысл квадратного уравнения

Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения - это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х) . Из этого следует, что есть три возможных случая:
1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох . Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

3) Последний случай на практике интересный больше - существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. Это означает, что существует два действительных корня уравнения.

На основе анализа коэффициентов при степенях переменных можно сделать интересные выводы о размещении параболы.

1) Если коэффициент а больше нуля то парабола направлена ветками вверх, если отрицательный - ветки параболы направлены вниз.

2) Если коэффициент b больше нуля то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если принимает отрицательное значение - то в правой.

Вывод формулы для решения квадратного уравнения

Перенесем константу с квадратного уравнения

за знак равенства, получим выражение

Умножим обе части на 4а

Чтобы получить слева полный квадрат добавим в обеих частях b^2 и осуществим преобразование

Отсюда находим

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0 При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

Теорема Виета

Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p , взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q . Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета.

Расписание квадратного уравнения на множители

Пусть поставлена задача: разложить квадратное уравнение на множители. Для его выполнения сначала решаем уравнение (находим корни). Далее, найденные корни подставляем в формулу разложения квадратного уравненияНа этом задача будет разрешен.

Задачи на квадратное уравнение

Задача 1. Найти корни квадратного уравнения

x^2-26x+120=0 .

Решение: Запишем коэффициенты и подставим в формулу дискриминанта

Корень из данного значения равен 14 , его легко найти с калькулятором, или запомнить при частом использовании, однако для удобства, в конце статьи я Вам дам список квадратов чисел, которые часто могут встречаться при подобных задачах.
Найденное значение подставляем в формулу корней

и получаем

Задача 2. Решить уравнение

2x 2 +x-3=0.

Решение: Имеем полное квадратное уравнение, выписываем коэффициенты и находим дискриминант


По известным формулам находим корни квадратного уравнения

Задача 3. Решить уравнение

9x 2 -12x+4=0.

Решение: Имеем полное квадратное уравнение. Определяем дискриминант

Получили случай когда корни совпадают. Находим значения корней по формуле

Задача 4. Решить уравнение

x^2+x-6=0 .

Решение: В случаях когда есть малые коэффициенты при х целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения

С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6 . Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2} . С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
Корни уравнения равны

Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см 2 .

Решение: Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х – большую сторону, тогда 18-x меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х(18-х)=77;
или
х 2 -18х+77=0.
Найдем дискриминант уравнения

Вычисляем корни уравнения

Если х=11 , то 18-х=7 , наоборот тоже справедливо (если х=7 , то 21-х=9 ).

Задача 6. Разложить квадратное 10x 2 -11x+3=0 уравнения на множители.

Решение: Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант

Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем

Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями

Раскрыв скобки получим тождество.

Квадратное уравнение с параметром

Пример 1. При каких значениях параметра а , уравнение (а-3)х 2 +(3-а)х-1/4=0 имеет один корень?

Решение: Прямой подстановкой значения а=3 видим, что оно не имеет решения. Далее воспользуемся тем, что при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень кратности 2 . Выпишем дискриминант

упростим его и приравняем к нулю

Получили квадратное уравнение относительно параметра а , решение которого легко получить по теореме Виета. Сумма корней равна 7 , а их произведение 12 . Простым перебором устанавливаем, что числа 3,4 будут корнями уравнения. Поскольку решение а=3 мы уже отвергли в начале вычислений, то единственным правильным будет - а=4 . Таким образом, при а=4 уравнение имеет один корень.

Пример 2. При каких значениях параметра а , уравнение а(а+3)х^2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?

Решение: Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0 и а=-3 . При а=0 уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2 и будет один корень. При а= -3 получим тождество 0=0 .
Вычислим дискриминант

и найдем значения а при котором оно положительно

С первого условия получим а>3 . Для второго находим дискриминант и корни уравнения


Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0 получим 3>0 . Итак, за пределами промежутка (-3;1/3) функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0 , которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи

Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.