Вероятность события определена зависимостью 0 p 100. Основы игрового баланса: случайность и вероятность наступления разных событий

Это отношение количества тех наблюдений, при которых рассматриваемое событие наступило, к общему количеству наблюдений. Такая трактовка допустима в случае достаточно большого количества наблюдений или опытов. Например, если среди встреченных на улице людей примерно половина - женщины, то можно говорить, что вероятность того, что встреченный на улице человек окажется женщиной, равна 1/2. Другими словами, оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента .

Вероятность в математике

В современном математическом подходе классическая (то есть не квантовая) вероятность задаётся аксиоматикой Колмогорова . Вероятностью называется мера P , которая задаётся на множестве X , называемом вероятностным пространством . Эта мера должна обладать следующими свойствами:

Из указанных условий следует, что вероятностная мера P также обладает свойством аддитивности : если множества A 1 и A 2 не пересекаются, то . Для доказательства нужно положить все A 3 , A 4 , … равными пустому множеству и применить свойство счётной аддитивности.

Вероятностная мера может быть определена не для всех подмножеств множества X . Достаточно определить её на сигма-алгебре , состоящей из некоторых подмножеств множества X . При этом случайные события определяются как измеримые подмножества пространства X , то есть как элементы сигма-алгебры .

Вероятность смысле

Когда мы находим, что основания для того, чтобы какой-нибудь возможный факт произошел в действительности, перевешивают противоположные основания, мы считаем этот факт вероятным , в противном случае - невероятным . Этот перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может представлять неопределённое множество степеней, вследствие чего вероятность (и невероятность ) бывает большею или меньшею .

Сложные единичные факты не допускают точного вычисления степеней своей вероятности, но и здесь важно бывает установить некоторые крупные подразделения. Так, например, в области юридической , когда подлежащий суду личный факт устанавливается на основании свидетельских показаний, он всегда остаётся, строго говоря, лишь вероятным, и необходимо знать, насколько эта вероятность значительна; в римском праве здесь принималось четверное деление: probatio plena (где вероятность практически переходит в достоверность ), далее - probatio minus plena , затем - probatio semiplena major и, наконец, probatio semiplena minor .

Кроме вопроса о вероятности дела, может возникать, как в области права, так и в области нравственной (при известной этической точке зрения) вопрос о том, насколько вероятно, что данный частный факт составляет нарушение общего закона. Этот вопрос, служащий основным мотивом в религиозной юриспруденции Талмуда , вызвал и в римско-католическом нравственном богословии (особенно с конца XVI века) весьма сложные систематические построения и огромную литературу, догматическую и полемическую (см. Пробабилизм) .

Понятие вероятности допускает определенное численное выражение в применении лишь к таким фактам, которые входят в состав определенных однородных рядов. Так (в самом простом примере), когда кто-нибудь бросает сто раз кряду монету, мы находим здесь один общий или большой ряд (сумма всех падений монеты), слагающийся из двух частных или меньших, в данном случае численно равных, рядов (падения «орлом» и падения «решкой»); Вероятность, что в данный раз монета упадет решкой, то есть что этот новый член общего ряда будет принадлежать к этому из двух меньших рядов, равняется дроби, выражающей численное отношение между этим малым рядом и большим, именно 1/2, то есть одинаковая вероятность принадлежит к тому или другому из двух частных рядов. В менее простых примерах заключение не может быть выведено прямо из данных самой задачи, а требует предварительной индукции . Так, например, спрашивается: какая вероятность существует для данного новорожденного дожить до 80 лет? Здесь должно составить общий, или большой, ряд из известного числа людей, рожденных в подобных же условиях и умирающих в различном возрасте (это число должно быть достаточно велико, чтобы устранить случайные отклонения, и достаточно мало, чтобы сохранялась однородность ряда, ибо для человека, рождённого, например, в Санкт-Петербурге в обеспеченном культурном семействе, всё миллионное население города, значительная часть которого состоит из лиц разнообразных групп, могущих умереть раньше времени - солдат, журналистов, рабочих опасных профессий, - представляет группу слишком разнородную для настоящего определения вероятности); пусть этот общий ряд состоит из десяти тысяч человеческих жизней; в него входят меньшие ряды, представляющие число доживающих до того или другого возраста; один из этих меньших рядов представляет число доживающих до 80 лет. Но определить численность этого меньшего ряда (как и всех других) невозможно a priori ; это делается чисто индуктивным путем, посредством статистики . Положим, статистические исследования установили, что из 10000 петербуржцев среднего класса до 80 лет доживают только 45; таким образом, этот меньший ряд относится к большому, как 45 к 10000, и вероятность для данного лица принадлежать к этому меньшему ряду, то есть дожить до 80 лет, выражается дробью 0,0045. Исследование вероятности с математической точки зрения составляет особую дисциплину - теорию вероятностей .

См. также

Примечания

Литература

• Альфред Реньи. Письма о вероятности / пер. с венг. Д.Сааса и А.Крамли под ред. Б. В. Гнеденко. М.: Мир. 1970
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М., 2007. 42 с.
• Купцов В. И. Детерминизм и вероятность. М., 1976. 256 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Антонимы :

Смотреть что такое "Вероятность" в других словарях:

Общенаучная и филос. категория, обозначающая количественную степень возможности появления массовых случайных событий при фиксированных условиях наблюдения, характеризующую устойчивость их относительных частот. В логике семантическая степень… … Философская энциклопедия

ВЕРОЯТНОСТЬ, число в интервале от нуля до единицы включительно, представляющее возможность свершения данного события. Вероятность события определяется как отношение числа шансов того, что событие может произойти, к общему количеству возможных… … Научно-технический энциклопедический словарь

По всей вероятности.. Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. вероятность возможность, вероятие, шанс, объективная возможность, маза, допустимость, риск. Ant. невозможность… … Словарь синонимов

вероятность - Мера того, что событие может произойти. Примечание Математическое определение вероятности: «действительное число в интервале от 0 до 1, относящееся к случайному событию». Число может отражать относительную частоту в серии наблюдений… … Справочник технического переводчика

Вероятность - «математическая, числовая характеристика степени возможности появления какого либо события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях». Если исходить из этого классического… … Экономико-математический словарь

- (probability) Возможность наступления какого либо события или определенного результата. Может быть представлена в виде шкалы с делениями от 0 до 1. При нулевой вероятности события его наступление невозможно. При вероятности, равной 1, наступление … Словарь бизнес-терминов

вероятность (probability) - число от 0 до 1, которое отражает шансы того, что случайное событие произойдет, где 0 - это полное отсутствие вероятности происхождения события, а 1 означает, что рассматриваемое событие определенно произойдет.

Вероятность события E является числом от до 1.
Сумма вероятностей взаимоисключающих событий равна 1.

эмпирическая вероятность - вероятность, которая посчитана как относительная частота события в прошлом, извлеченная из анализа исторических данных.

Вероятность очень редких событий нельзя посчитать эмпирически.

субъективная вероятность - вероятность, основанная на личной субъективной оценке события безотносительно исторических данных. Инвесторы, которые принимают решения о покупке и продаже акций зачастую действуют именно исходя из соображений субъективной вероятности.

априорная вероятность -

Шанс 1 из… (odds) того что событие произойдет через понятие вероятности. Шанс появления события выражается через вероятность так: P/(1-P).

Например, если вероятность события 0,5, то шанс события 1 из 2 т.к. 0,5/(1-0,5).

Шанс того, что событие не произойдет вычисляется по формуле (1-P)/P

Несогласованная вероятноть - например в цене акций компании А на 85% учтено возможное событие E, а в цене акций компании Б всего на 50%. Это называется несогласованная вероятность. Согласно теореме голландских ставок, несогласованная вероятность создает возможности для извлечения прибыли.

Безусловная вероятность - это ответ на вопрос «Какова вероятность того, что событие произойдет?»

Условная вероятность - это ответ на вопрос: «Какова вероятность события A если событие Б произошло». Условная вероятность обозначается как P(A|B).

Совместная вероятность - вероятность того, что события А и Б произойдут одновременно. Обозначается как P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Правило суммирования вероятностей:

Вероятность того, что случится либо событие A либо событие B -

P (A or B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Если события A и B взаимоисключающие, то

P (A or B) = P(A) + P(B)

Независимые события - события A и B независимы если

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

То есть это последовательность результатов, где значение вероятности постоянно от одного собятия к другому.
Бросок монеты - пример такого события, - результат каждого следующего броска не зависит от результата предыдущего.

Зависимые события - это такие события, когда вероятность появления одного зависит от вероятности появления другого.

Правило умножения вероятностей независимых событий:
Если события A и B независимы, то

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Правило полной вероятности:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S и S" - взаимоисключающие события

математическое ожидание (expected value) случайной переменной есть среднее возможных исходов случайной величины. Для события X матожидание обоначается как E(X).

Допустим у нас есть 5 значений взаимоисключающих событий c определенной вероятностью (например доход компании составил такую-то сумму с такой вероятностью). Матожиданием будет сумма всех исходов помноженных на их вероятность:

Дисперсия случайной величины - матожидание квадратных отклонений случайной величины от ее матожидания:

s 2 = E{ 2 } (6)

Условное матожидание (conditional expected value) - матожидание случайной величины X при условии того, что событие S уже произошло.

Краткая теория

Для количественного сравнения событий по степени возможности их появления вводится числовая мера, которая называется вероятностью события. Вероятностью случайного события называется число, являющееся выражением меры объективной возможности появления события.

Величины, определяющие, насколько значительны объективные основания рассчитывать на появление события, характеризуются вероятностью события. Необходимо подчеркнуть, что вероятность есть объективная величина, существующая независимо от познающего и обусловленная всей совокупностью условий, которые способствуют появлению события.

Объяснения, которые мы дали понятию вероятности, не являются математическим определением, так как они не определяют это понятие количественно. Существует несколько определений вероятности случайного события, которые широко применяются при решении конкретных задач (классическое, геометрическое определение вероятности , статистическое и т. д.).

Классическое определение вероятности события сводит это понятие к более элементарному понятию равновозможных событий, которое уже не подлежит определению и предполагается интуитивно ясным. Например, если игральная кость - однородный куб, то выпадения любой из граней этого куба будут равновозможными событиями.

Пусть достоверное событие распадается на равновозможных случаев , сумма которых дает событие . То есть случаи из , на которые распадается , называются благоприятствующими для события , так как появление одного из них обеспечивает наступление .

Вероятность события будем обозначать символом .

Вероятность события равна отношению числа случаев , благоприятствующих ему, из общего числа единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу , т. е.

Это есть классическое определение вероятности. Таким образом, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, найти совокупность единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев, подсчитать общее их число n, число случаев m, благоприятствующих данному событию, и затем выполнить расчет по вышеприведенной формуле.

Вероятность события, равная отношению числа благоприятных событию исходов опыта к общему числу исходов опыта называется классической вероятностью случайного события.

Из определения вытекают следующие свойства вероятности:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Свойство 4. Вероятность наступления событий, образующих полную группу, равна единице.

Свойство 5. Вероятность наступления противоположного события определяется так же, как и вероятность наступления события A.

Число случаев, благоприятствующих появлению противоположного события . Отсюда вероятность наступления противоположного события равна разнице между единицей и вероятностью наступления события A:

Важное достоинство классического определения вероятности события состоит в том, что с его помощью вероятность события можно определить, не прибегая к опыту, а исходя из логических рассуждений.

При выполнении комплекса условий достоверное событие обязательно произойдет, а невозможное обязательно не произойдет. Среди событий, которые при создании комплекса условий могут произойти, а могут не произойти, на появление одних можно рассчитывать с большим основанием, на появление других с меньшим основанием. Если, например, в урне белых шаров больше, чем черных, то надеяться на появление белого шара при вынимании из урны наудачу больше оснований, чем на появление черного шара.

На соседней странице рассматривается .

Пример решения задачи

Пример 1

В ящике находится 8 белых, 4 черных и 7 красных шаров. Наудачу извлечены 3 шара. Найти вероятности следующих событий: – извлечен по крайней мере 1 красный шар, – есть по крайней мере 2 шара одного цвета, – есть по крайней мере 1 красный и 1 белый шар.

Решение задачи

Общее число исходов испытания найдем как число сочетаний из 19 (8+4+7) элементов по 3:

Найдем вероятность события – извлечен по крайней мере 1 красный шар (1,2 или 3 красных шара)

Искомая вероятность:

Пусть событие – есть по крайней мере 2 шара одного цвета (2 или 3 белых шара, 2 или 3 черных шара и 2 или 3 красных шара)

Число исходов, благоприятствующих событию:

Искомая вероятность:

Пусть событие – есть по крайней мере один красный и 1 белый шар

(1 красный, 1 белый, 1 черный или 1 красный, 2 белых или 2 красных, 1 белый)

Число исходов, благоприятствующих событию:

Искомая вероятность:

Ответ: P(A)=0.773;P(C)=0.7688; P(D)=0.6068

Пример 2

Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков не меньше 5.

Решение

Пусть событие – сумма очков не меньше 5

Воспользуемся классическим определением вероятности:

Общее число возможных исходов испытания

Число испытаний, благоприятствующих интересующему нас событию

На выпавшей грани первого игрального кубика может появиться одно очко, два очка…, шесть очков. аналогично шесть исходов возможны при бросании второго кубика. Каждый из исходов бросания первой кости может сочетаться с каждым из исходов второй. Таким образом, общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу размещений с повторениями (выбор с размещениями 2 элементов из совокупнности объема 6):

Найдем вероятность противоположного события – сумма очков меньше 5

Благоприятствовать событию будут следующие сочетания выпавших очков:

Средняя стоимость решения контрольной работы 700 - 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете - от 1000 руб. за решение билета.

Заявку можно оставить прямо в чате, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.

Примеры близких по теме задач

Формула полной вероятности. Формула Байеса
На примере решения задачи рассмотрены формула полной вероятности и формула Байеса, а также рассказывается, что такое гипотезы и условные вероятности.

Ясно, что каждое событие обладает той или иной степенью возможности своего наступления (своей реализации). Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно, нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число называется вероятностью события.

Вероятность события – есть численная мера степени объективной возможности наступления этого события.

Рассмотрим стохастический эксперимент и случайное событие А, наблюдаемое в этом эксперименте. Повторим этот эксперимент n раз и пусть m(A) – число экспериментов, в которых событие А произошло.

Отношение (1.1)

называется относительной частотой события А в проведенной серии экспериментов.

Легко убедиться в справедливости свойств:

если А и В несовместны (АВ= ), то ν(А+В) = ν(А) + ν(В) (1.2)

Относительная частота определяется только после проведения серии экспериментов и, вообще говоря, может меняться от серии к серии. Однако опыт показывает, что во многих случаях при увеличении числа опытов относительная частота приближается к некоторому числу. Этот факт устойчивости относительной частоты неоднократно проверялся и может считаться экспериментально установленным.

Пример 1.19. . Если бросить одну монету, никто не сможет предсказать, какой стороной она упадет кверху. Но если бросить две тонны монет, то каждый скажет, что примерно одна тонна упадет кверху гербом, то есть относительная частота выпадения герба примерно равна 0,5.

Если при увеличении числа опытов относительная частота события ν(А) стремится к некоторому фиксированному числу, то говорят, что событие А статистически устойчиво , а это число называют вероятностью события А.

Вероятностью события А называется некоторое фиксированное число Р(А), к которому стремится относительная частота ν(А) этого события при увеличении числа опытов, то есть,

Это определение называют статистическим определением вероятности .

Рассмотрим некий стохастический эксперимент и пусть пространство его элементарных событий состоит из конечного или бесконечного (но счетного) множества элементарных событий ω 1 , ω 2 , …, ω i , … . предположим, что каждому элементарному событию ω i прописан некоторое число - р i , характеризующее степень возможности появления данного элементарного события и удовлетворяющее следующим свойствам:

Такое число p i называется вероятностью элементарного события ω i .

Пусть теперь А- случайное событие, наблюдаемое в этом опыте, и ему соответствует некоторое множество

В такой постановке вероятностью события А называют сумму вероятностей элементарных событий, благоприятствующих А (входящих в соответствующее множество А):

(1.4)

Введенная таким образом вероятность обладает теми же свойствами, что и относительная частота, а именно:

И если АВ= (А и В несовместны),

то P(А+В) = P(А) + P(В)

Действительно, согласно (1.4)

В последнем соотношении мы воспользовались тем, что ни одно элементарное событие не может благоприятствовать одновременно двум несовместным событиям.

Особо отметим, что теория вероятностей не указывает способов определения р i , их надо искать из соображений практического характера или получать из соответствующего статистического эксперимента.

В качестве примера рассмотрим классическую схему теории вероятностей. Для этого рассмотрим стохастический эксперимент, пространство элементарных событий которого состоит из конечного (n) числа элементов. Предположим дополнительно, что все эти элементарные события равновозможны, то есть вероятности элементарных событий равны p(ω i)=p i =p. Отсюда следует, что

Пример 1.20 . При бросании симметричной монеты выпадение герба и «решки» равновозможны, их вероятности равны 0,5.

Пример 1.21 . При бросании симметричного кубика все грани равновозможны, их вероятности равны 1/6.

Пусть теперь событию А благоприятствует m элементарных событий, их обычно называют исходами, благоприятствующими событию А . Тогда

Получили классическое определение вероятности : вероятность Р(А) события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу исходов

Пример 1.22 . В урне лежит m белых шаров и n черных. Чему равна вероятность вытащить белый шар?

Решение . Всего элементарных событий m+n. Они все равновероятны. Благоприятствующих событию А из них m. Следовательно, .

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

Свойство 1 . Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует собы­тию. В этом случае т=п, следовательно,

P(A)=m/n=n/n=1. (1.6)

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае т = 0, следовательно, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испы­тания. То есть, 0≤m≤n, значит, 0≤m/n≤1, следовательно, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0≤P(A) ≤1. (1.8)

Сопоставляя определения вероятности (1.5) и относительной частоты (1.1), заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически . Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту - после опыта.

Однако, вычисление вероятности требует наличия предварительной информации о количестве или вероятностях благоприятствующих данному событию элементарных исходов. В случае отсутствия такой предварительной информации для определения вероятности прибегают к эмпирическим данным, то есть, по результатам стохастического эксперимента определяют относительную частоту события.

Пример 1.23 . Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартных детали в партии из 80 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления нестандартных деталей r (А) = 3/80.

Пример 1.24 . По цели.произвели 24 выстрела, причем было зарегистрировано 19 попаданий. Относительная частота поражения цели. r (А) =19/24.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число можно принять за приближенное значение вероятности.

Подробнее и точнее связь между относительной частотой и вероятностью будет изложена далее. Теперь же проиллюстрируем свойство устойчивости на примерах.

Пример 1.25 . По данным шведской статистики, относительная частота рождения девочек за 1935 г. по месяцам характеризуется сле­дующими числами (числа расположены в порядке следования месяцев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Относительная частота колеблется около числа 0,481, которое можно принять за приближеннее значение вероятности рождения девочек.

Заметим, что статистические данные различных стран дают примерно то же значение относительной частоты.

Пример 1.26. Многократно проводились опыты бросания монеты, в которых подсчитывали число появление «герба». Результаты нескольких опытов приведены в таблице.

Вряд ли многие люди задумываются, можно ли просчитать события, которые в той или иной мере случайны. Выражаясь простыми словами, реально ли узнать, какая сторона кубика в выпадет в следующий раз. Именно этим вопросом задались два великих ученых, положившие начало такой науке, как теория вероятности, вероятность события в которой изучается достаточно обширно.

Зарождение

Если попытаться дать определение такому понятию, как теория вероятности, то получится следующее: это один из разделов математики, который занимается изучением постоянства случайных событий. Ясное дело, данное понятие толком не раскрывает всю суть, поэтому необходимо рассмотреть ее более детально.

Хотелось бы начать с создателей теории. Как было выше упомянуто, их было двое, это и Именно они одни из первых попытались с использованием формул и математических вычислений просчитать исход того или иного события. В целом же зачатки этой науки проявлялись еще в средневековье. В то время разные мыслители и ученые пытались проанализировать азартные игры, такие как рулетка, кости и так далее, тем самым установить закономерность и процентное соотношение выпадения того или иного числа. Фундамент же был заложен в семнадцатом столетии именно вышеупомянутыми учеными.

Поначалу их труды нельзя было отнести к великим достижениям в этой области, ведь все, что они сделали, это были попросту эмпирические факты, а опыты ставились наглядно, без использования формул. Со временем получилось добиться больших результатов, которые появились вследствие наблюдения за бросанием костей. Именно этот инструмент помог вывести первые внятные формулы.

Единомышленники

Нельзя не упомянуть о таком человеке, как Христиан Гюйгенс, в процессе изучения темы, носящей название "теория вероятности" (вероятность события освещается именно в этой науке). Данная персона очень интересна. Он, так же как и представленные выше ученые, пытался в виде математических формул вывести закономерность случайных событий. Примечательно, что делал он это не совместно с Паскалем и Ферма, то есть все его труды никак не пересекались с этими умами. Гюйгенс вывел

Интересен тот факт, что его работа вышла задолго до результатов трудов первооткрывателей, а точнее, на двадцать лет раньше. Среди обозначенных понятий известнее всего стали:

• понятие вероятности как величины шанса;
• математическое ожидание для дискретных случаев;
• теоремы умножения и сложения вероятностей.

Также нельзя не вспомнить который тоже внес весомый вклад в изучении проблемы. Проводя свои, ни от кого не зависящие испытания, он сумел представить доказательство закона больших чисел. В свою очередь, ученые Пуассон и Лаплас, которые работали в начале девятнадцатого столетия, смогли доказать изначальные теоремы. Именно с этого момента для анализа ошибок в ходе наблюдений начали использовать теорию вероятностей. Стороной обойти данную науку не смогли и русские ученые, а точнее Марков, Чебышев и Дяпунов. Они, исходя из проделанной работы великих гениев, закрепили данный предмет в качестве раздела математики. Трудились эти деятели уже в конце девятнадцатого столетия, и благодаря их вкладу, были доказаны такие явления, как:

• закон больших чисел;
• теория цепей Маркова;
• центральная предельная теорема.

Итак, с историей зарождения науки и с основными персонами, повлиявшими на нее, все более или менее понятно. Сейчас же пришло время конкретизировать все факты.

Основные понятия

Перед тем как касаться законов и теорем, стоит изучить основные понятия теории вероятностей. Событие в ней занимает главенствующую роль. Данная тема довольно объемная, но без нее не удастся разобраться во всем остальном.

Событие в теории вероятности - этолюбая совокупность исходов проведенного опыта. Понятий данного явления существует не так мало. Так, ученый Лотман, работающий в этой области, высказался, что в данном случае речь идет о том, что «произошло, хотя могло и не произойти».

Случайные события (теория вероятности уделяет им особое внимание) - это понятие, которое подразумевает абсолютно любое явление, имеющее возможность произойти. Или же, наоборот, этот сценарий может не случиться при выполнении множества условий. Также стоит знать, что захватывают весь объем произошедших явлений именно случайные события. Теория вероятности указывает на то, что все условия могут повторяться постоянно. Именно их проведение получило название "опыт" или же "испытание".

Достоверное событие - это то явление, которое в данном испытании на сто процентов произойдет. Соответственно, невозможное событие - это то, которое не случится.

Совмещение пары действий (условно случай A и случай B) есть явление, которое происходит одновременно. Они обозначаются как AB.

Сумма пар событий А и В - это С, другими словами, если хотя бы одно из них произойдет (А или В), то получится С. Формула описываемого явления записывается так: С = А + В.

Несовместные события в теории вероятности подразумевают, что два случая взаимно исключают друг друга. Одновременно они ни в коем случае не могут произойти. Совместные события в теории вероятности - это их антипод. Здесь подразумевается, что если произошло А, то оно никак не препятствует В.

Противоположные события (теория вероятности рассматривает их очень подробно) просты для понимания. Лучше всего разобраться с ними в сравнении. Они почти такие же, как и несовместные события в теории вероятности. Но их отличие заключается в том, что одно из множества явлений в любом случае должно произойти.

Равновозможные события - это те действия, возможность повтора которых равна. Чтобы было понятней, можно представить бросание монеты: выпадение одной из ее сторон равновероятно выпадению другой.

Благоприятствующее событие легче рассмотреть на примере. Допустим, есть эпизод В и эпизод А. Первое - это бросок игрального кубика с появлением нечетного числа, а второе - появление числа пять на кубике. Тогда получается, что А благоприятствует В.

Независимые события в теории вероятности проецируются только на два и больше случаев и подразумевают независимость какого-либо действия от другого. Например, А - выпадение решки при бросании монеты, а В - доставание валета из колоды. Они и есть независимые события в теории вероятности. С этим моментом стало понятнее.

Зависимые события в теории вероятности также допустимы лишь для их множества. Они подразумевают зависимость одного от другого, то есть явление В может произойти только в том случае, если А уже произошло или же, наоборот, не произошло, когда это - главное условие для В.

Исход случайного эксперимента, состоящего из одного компонента, - это элементарные события. Теория вероятности поясняет, что это такое явление, которое совершилось лишь единожды.

Основные формулы

Итак, выше были рассмотрены понятия "событие", "теория вероятности", определение основным терминам этой науки также было дано. Сейчас же пришло время ознакомиться непосредственно с важными формулами. Эти выражения математически подтверждают все главные понятия в таком непростом предмете, как теория вероятности. Вероятность события и здесь играет огромную роль.

Начать лучше с основных И перед тем как приступить к ним, стоит рассмотреть, что это такое.

Комбинаторика - это в первую очередь раздел математики, он занимается изучением огромного количества целых чисел, а также различных перестановок как самих чисел, так и их элементов, различных данных и т. п., ведущих к появлению ряда комбинаций. Помимо теории вероятности, эта отрасль важна для статистики, компьютерной науки и криптографии.

Итак, теперь можно переходить к представлению самих формул и их определению.

Первой из них будет выражение для числа перестановок, выглядит оно следующим образом:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Применяется уравнение только в том случае, если элементы различаются лишь порядком расположения.

Теперь будет рассмотрена формула размещения, выглядит она так:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Это выражение применимо уже не только лишь к порядку размещения элемента, но и к его составу.

Третье уравнение из комбинаторики, и оно же последнее, называется формулой для числа сочетаний:

C_n^m = n ! : ((n - m))! : m !

Сочетанием называются выборки, которые не упорядочены, соответственно, к ним и применяется данное правило.

С формулами комбинаторики получилось разобраться без труда, теперь можно перейти к классическому определению вероятностей. Выглядит это выражение следующим образом:

В данной формуле m - это число условий, благоприятствующих событию A, а n - число абсолютно всех равновозможных и элементарных исходов.

Существует большое количество выражений, в статье не будут рассмотрены все, но затронуты будут самые важные из них такие, как, например, вероятность суммы событий:

P(A + B) = P(A) + P(B) - эта теорема для сложения только несовместных событий;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - а эта для сложения только совместимых.

Вероятность произведения событий:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - эта теорема для независимых событий;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - а эта для зависимых.

Закончит список формула событий. Теория вероятностей рассказывает нам о теоремеБайеса, которая выглядит так:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,...,n

В данной формуле H 1 , H 2 , …, H n - это полная группа гипотез.

Примеры

Если тщательно изучить любой раздел математики, в нем не обходится без упражнений и образцов решений. Так и теория вероятности: события, примеры здесь являются неотъемлемым компонентом, подтверждающим научные выкладки.

Формула для числа перестановок

Допустим, в карточной колоде есть тридцать карт, начиная с номинала один. Далее вопрос. Сколько есть способов сложить колоду так, чтобы карты с номиналом один и два не были расположены рядом?

Задача поставлена, теперь давайте перейдем к ее решению. Для начала нужно определить число перестановок из тридцати элементов, для этого берем представленную выше формулу, получается P_30 = 30!.

Исходя из этого правила, мы узнаем, сколько есть вариантов сложить колоду по-разному, но нам необходимо вычесть из них те, в которых первая и вторая карта будут рядом. Для этого начнем с варианта, когда первая находится над второй. Получается, что первая карта может занять двадцать девять мест - с первого по двадцать девятое, а вторая карта со второго по тридцатое, получается всего двадцать девять мест для пары карт. В свою очередь, остальные могут принимать двадцать восемь мест, причем в произвольном порядке. То есть для перестановки двадцати восьми карт есть двадцать восемь вариантов P_28 = 28!

В итоге получается, что если рассматривать решение, когда первая карта находится над второй, лишних возможностей получится 29 ⋅ 28! = 29!

Используя этот же метод, нужно вычислить число избыточных вариантов для того случая, когда первая карта находится под второй. Получается также 29 ⋅ 28! = 29!

Из этого следует, что лишних вариантов 2 ⋅ 29!, в то время как необходимых способов сбора колоды 30! - 2 ⋅ 29!. Остается только лишь посчитать.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Теперь нужно перемножать между собой все числа от одного до двадцати девяти, после чего в конце умножить все на 28. Ответ получается 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Решение примера. Формула для числа размещения

В данной задаче необходимо выяснить, сколько есть способов, чтобы поставить пятнадцать томов на одной полке, но при условии, что всего томов тридцать.

В этой задаче решение немного проще, чем в предыдущей. Используя уже известную формулу, необходимо вычислить суммарное число расположений из тридцати томов по пятнадцать.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Ответ, соответственно, будет равен 202 843 204 931 727 360 000.

Теперь возьмем задачу чуть сложнее. Необходимо узнать, сколько есть способов расставить тридцать книг на двух книжных полках, при условии, что на одной полке могут находиться лишь пятнадцать томов.

Перед началом решения хотелось бы уточнить, что некоторые задачи решаются несколькими путями, так и в этой есть два способа, но в обоих применена одна и та же формула.

В этой задаче можно взять ответ из предыдущей, ведь там мы вычислили, сколько раз можно заполнить полку на пятнадцать книг по-разному. Получилось A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Вторую же полку рассчитаем по формуле перестановки, ведь в нее помещается пятнадцать книг, в то время как всего остается пятнадцать. Используем формулу P_15 = 15!.

Получается, что в сумме будет A_30^15 ⋅ P_15 способов, но, помимо этого, произведение всех чисел от тридцати до шестнадцати надо будет умножить на произведение чисел от одного до пятнадцати, в итоге получится произведение всех чисел от одного до тридцати, то есть ответ равен 30!

Но эту задачу можно решить и по-иному - проще. Для этого можно представить, что есть одна полка на тридцать книг. Все они расставлены на этой плоскости, но так как условие требует, чтобы полок было две, то мы одну длинную пилим пополам, получается две по пятнадцать. Из этого получается что вариантов расстановки может быть P_30 = 30!.

Решение примера. Формула для числа сочетания

Сейчас будет рассмотрен вариант третьей задачи из комбинаторики. Необходимо узнать, сколько способов есть, чтобы расставить пятнадцать книг при условии, что выбирать необходимо из тридцати абсолютно одинаковых.

Для решения будет, конечно же, применена формула для числа сочетаний. Из условия становится понятным, что порядок одинаковых пятнадцати книг не важен. Поэтому изначально нужно выяснить общее число сочетаний из тридцати книг по пятнадцать.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

Вот и все. Используя данную формулу, в кратчайшее время удалось решить такую задачу, ответ, соответственно, равен 155 117 520.

Решение примера. Классическое определение вероятности

С помощью формулы, указанной выше, можно найти ответ в несложной задаче. Но это поможет наглядно увидеть и проследить ход действий.

В задаче дано, что в урне есть десять абсолютно одинаковых шариков. Из них четыре желтых и шесть синих. Из урны берется один шарик. Необходимо узнать вероятность доставания синего.

Для решения задачи необходимо обозначить доставание синего шарика событием А. Данный опыт может иметь десять исходов, которые, в свою очередь, элементарные и равновозможные. В то же время из десяти шесть являются благоприятствующими событию А. Решаем по формуле:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Применив эту формулу, мы узнали, что возможность доставания синего шарика равна 0,6.

Решение примера. Вероятность суммы событий

Сейчас будет представлен вариант, который решается с использованием формулы вероятности суммы событий. Итак, в условии дано, что есть два ящика, в первом находится один серый и пять белых шариков, а во втором - восемь серых и четыре белых шара. В итоге из первого и второго короба взяли по одному из них. Необходимо узнать, каков шанс того, что доставаемые шарики будут серого и белого цвета.

Чтобы решить данную задачу, необходимо обозначить события.

• Итак, А - взяли серый шарик из первого ящика: P(A) = 1/6.
• А’ - взяли белый шарик также из первого ящика: P(A") = 5/6.
• В - извлекли серый шарик уже из второго короба: P(B) = 2/3.
• В’ - взяли серый шарик из второго ящика: P(B") = 1/3.

По условию задачи необходимо, чтобы случилось одно из явлений: АВ’ или же А’В. Используя формулу, получаем: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Сейчас была использована формула по умножению вероятности. Далее, чтобы узнать ответ, необходимо применить уравнение их сложения:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Вот так, используя формулу, можно решать подобные задачи.

Итог

В статье была представлена информация по теме "Теория вероятности", вероятность события в которой играет важнейшую роль. Конечно же, не все было учтено, но, исходя из представленного текста, можно теоретически ознакомиться с данным разделом математики. Рассматриваемая наука может пригодиться не только в профессиональном деле, но и в повседневной жизни. С ее помощью можно просчитать любую возможность какого-либо события.

В тексте были затронуты также знаменательные даты в истории становления теории вероятности как науки, и фамилии людей, чьи труды были в нее вложены. Вот так человеческое любопытство привело к тому, что люди научились просчитывать даже случайные события. Когда-то они просто заинтересовались этим, а сегодня об этом уже знают все. И никто не скажет, что ждет нас в будущем, какие еще гениальные открытия, связанные с рассматриваемой теорией, будут совершены. Но одно можно сказать точно - исследования на месте не стоят!