Теоретические аспекты формирования оптимальных инвестиционных портфелей с использованием безрисковых кредитов и заемных средств. Модель оценки капитальных активов – CAPM (У. Шарпа) в Excel Что показывает коэффициент бета в модели CAPM

Современная теория портфеля основана на использовании статистических и математических методов. Ее отличительной чертой является взаимосвязь между рыночным риском и доходом, а именно: инвестор должен формировать относительно рискованный портфель, чтобы рассчитывать на относительно высокий доход. Использование такого подхода требует определенного компьютерного и математического обеспечения. Во многих случаях стратегически верным будет комбинирование перечисленных выше подходов.

На сегодняшний день наиболее распространены две модели определения характеристик портфеля: модель Марковица и модель Шарпа. Обе модели созданы и успешно работают в условиях уже сложившихся относительно стабильных западных фондовых рынков. К сожалению, украинский фондовый рынок назвать стабильным пока еще нельзя. Поэтому была предпринята попытка, создать модель, способную успешно функционировать в условиях формирующегося, развивающегося и реорганизовывающегося фондового рынка, каковым на сегодняшний день и является фондовый рынок Украины. Предложенная модель получила название "Квази-Шарп" (вследствие схожести в общих чертах с моделью Шарпа) и будет приведена ниже.

Модель Марковица

В 1952 г. Гарри Марковиц опубликовал фундаментальную работу, которая является основой подхода к инвестициям с точки зрения современной теории формирования портфеля. Подход Марковица начинается с предположения, что инвестор в настоящий момент времени имеет конкретную сумму денег для инвестирования. Эти деньги будут инвестированы на определенный промежуток времени, который называется периодом владения (holding period). В конце периода владения инвестор продает ценные бумаги, которые были куплены в начале периода, после чего либо использует полученный доход на потребление, либо реинвестирует доход в различные ценные бумаги (либо делает то и другое одновременно).

Подход Марковица к принятию решения дает возможность адекватно учесть обе эти цели. Следствием наличия двух противоречивых целей является необходимость проведения диверсификации с помощью покупки не одной, а нескольких ценных бумаг.

Модель основана на том, что показатели доходности различных ценных бумаг взаимосвязана: с ростом доходности одних бумаг наблюдается одновременный рост по другим бумагам, третьи остаются без изменения, а по четвертым наоборот доходность снижается. Такой вид зависимости не является детерминированным, т.е. однозначно определенным, а стохастическим и называется корреляцией.

Модель Марковица рационально использовать при стабильном состоянии фондового рынка, когда желательно сформировать портфель из ценных бумаг различного характера, принадлежащих различным отраслям. Основной недостаток модели Марковица - ожидаемая доходность ценных бумаг принимается равной средней доходности по данным прошлых периодов. Поэтому модель Марковица рационально использовать при стабильном состоянии фондового рынка, когда желательно сформировать портфель из ценных бумаг различного характера, имеющих более или менее продолжительный срок жизни на фондовом рынке

Модель Шарпа

Модель Шарпа рассматривает взаимосвязь доходности каждой ценной бумаги с доходностью рынка в целом. Основная идея модели заключается в том, что инвестор не приемлет риск и готов идти на него только в том случае, если это предполагает дополнительную выгоду, т.е. повышенную норму отдачи на вложенный капитал по сравнению с безрисковым вложением. В качестве безрисковой ставки используется норма доходности по долгосрочным правительственным облигациям со сроком погашения, как правило, через 10 - 20 лет. Модель Шарпа применима в основном при рассмотрении большого количества ценных бумаг, описывающих большую часть фондового рынка. Основной недостаток модели - необходимость прогнозировать доходность фондового рынка и безрисковую ставку доходности. В этой модели не учитывается риск колебаний безрисковой доходности. Кроме того, при значительном изменении соотношения между безрисковой доходностью и доходностью фондового рынка модель дает искажения.

Модель "Квази-Шарп"

Модели Марковица и Шарпа были созданы и успешно работают в условиях западных фондовых рынков, обладающих стабильностью и сравнительной прогнозируемостью. В странах с переходной экономикой фондовые рынки находятся на этапе становления и развития. Происходит постоянная реорганизация. Фондовый рынок Украины не является исключением. В таких условиях применение моделей Марковица и Шарпа приводит к искажениям, связанным с нестабильностью котировок ценных бумаг и фондового рынка в целом.

Рассмотрим практические аспекты построения модели оценки капитальных активов CAPM с помощью Excel для отечественных акций ОАО “Газпром”.

Модель оценки капитальных активов (англ. Capital Assets Price Model, CAPM) – модель оценки (прогнозирования) будущей доходности актива для инвесторов. Подход оценки активов был теоретически разработана еще в 50-е годы Г.Марковицем, и окончательно сформирован в виде модели в 60-е годы У.Шарпом (1964), Дж. Трейнором (1962), Дж. Линтнером (1965), Ж. Мосином (1966).

Модель CAPM основывается на гипотезе эффективного рынка капитала (E fficient M arket H ypothesis, EMH ), созданной еще в начале 20-го века Л. Башелье и активно продвигаемую Ю.Фамой в 60-е годы. Данная гипотеза имеет ряд условий по способу распространению информации и действию инвесторов на эффективном рынке капитала:

• Информация свободно распространяется и доступно всем инвесторам, рынок имеет совершенную конкуренцию. Другими словами, отсутствуют инсайдеры, которые обладают большим преимуществом в принятии решений и получении сверхдоходности (выше среднерыночной).
• Любое изменение информации о компании сразу приводит к изменению стоимости ее активов (акций). Это исключает возможность использования любой активной стратегии инвестирования для получения сверхприбыли. Данная предпосылка исключает возможность арбитражных сделок, когда инвестор заранее имеет полезную информацию, тогда как цена на активы компании еще не изменилась.
• Инвесторы на эффективном рынке имеют долгосрочный горизонт вложения. Это исключает возникновение резких изменений цен на активы (акции) и кризисов.
• Активы имеют высокую ликвидность и абсолютно делимы.

Исходя из гипотезы эффективного рынка, У. Шарп сделал предположение, что на будущую доходность акции будут оказывать влияние только рыночные (системные) риски. Другими словами, будущую доходность акции будут определять общее настроение рынка. Поэтому, кстати, он и был сторонником пассивного инвестирования, когда инвестиционный портфель не пересматривается от получения новой информации. Следует отметить, что на эффективном рынке невозможно получить сверхприбыль. Это делает любое активное управление инвестициями (инвестиционным портфелем) не целесообразным и ставит под сомнение эффективность вложения в ПИФы. В результате, модель У. Шарпа имеет всего один фактор – рыночный риск (коэффициент бета). Анализируя данные постулаты эффективного рынка, можно заметить, что в современной экономике многие из них не выполняются. Модель CAPM в большей степени является теоретической моделью и может использоваться на практике в общем случае.

Модель CAPM. Формула расчета

Формула оценки будущей доходности актива (акции) по модели CAPM имеет следующий аналитический вид:

r – ожидаемая доходность актива (акций);

r f – доходность по безрисковому активу;

r m – среднерыночная доходность;

β – коэффициент бета (мера рыночного риска), который отражает чувствительность изменения стоимости активов в зависимости от доходности рынка. Данный коэффициент иногда называют коэффициент Шарпа.

Модель представляет собой уравнение линейной регрессии и показывает линейную взаимосвязь между доходностью (r) и рыночным риском (β);

σ im – стандартное отклонение изменения доходности акции от изменения доходности рынка;

σ 2 m – дисперсия рыночной доходности.

Для того чтобы лучше понять модель CAPM разберем ее на реальном примере акций предприятия ОАО «Газпром». Для этого воспользуемся программой Excel. Получить котировки акций можно на сайте finam.ru в разделе «Про рынок» ­→ «Экспорт данных».

В нашей формуле за рыночную доходность будем брать изменения индекса РТС (RTSI), также это может быть индекс ММВБ (MICECX). Для американских акций зачастую берут изменения индекса S&P500. Были взяты ежедневные котировки акции и индекса за 1 год (250 данных), начиная с 31.01.2014 по 30.01.2015 г.
Далее необходимо рассчитать доходности акции (E) и индекса (D), по формулам:

Хочется заметить, что для оценки доходностей могла быть использована также формула расчета через натуральный логарифм:

Итоговый результат расчета доходности одинаковый.

Расчет коэффициента бета с помощью формул Excel

Для расчета коэффициента бета можно воспользоваться формулой ИНДЕКС и ЛИНЕЙН, первая позволяет взять индекс b из формулы линейной регрессии между доходностями акции и индекса, который соответствует коэффициенту бета. Формула расчета будет следующая:

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(E7:E256;D7:D256);1)

Расчет коэффициента бета через надстройку «Регрессия»

Второй вариант расчета рыночного риска модели заключается в использовании надстройки в разделе «Главное меню» → «Данные» →«Анализ данных» → «Регрессия».

В открывшемся окне необходимо заполнить два поля: «Входной интервал Y» и «Входной интервал Х» доходностями индекса и акции соответственно.

На новом листе Excel появится основные параметры модели линейной регрессии. В ячейке В18 отразится рассчитанный коэффициент линейной регрессии – коэффициент бета. Рассмотрим другие полученные параметры анализа. Так показатель Множественной R (коэффициента корреляции) между доходностью акции и индекса составляет 0,29, что показывает низкую степень зависимости доходности акции от доходности индекса. Коэффициент R-квадрат (коэффициент детерминированности) отражает точность полученной модели. Точность составляет 0,08, что очень мало для того чтобы принимать адекватные решения о прогнозировании будущей доходности на основе взаимосвязи только с уровнем риска рынка.

Что показывает коэффициент бета в модели CAPM?

Коэффициент бета показывает чувствительность изменения доходности акции и доходности рынка. Другими словами, отражает рискованность вложения в тот или иной актив. Коэффициент бета служит мерой рыночного риска. Знак перед показателем отражает их однонаправленное или разнонаправленное движение. Рассмотрим более подробно значение бета в таблице ниже:

Наиболее распространенные 2 модели определения характеристик портфеля: модель. Марковица и модель. Шарпа. Обе модели созданы и успешно работают в условиях, которые сложились в относительно стабильных западных фондо овых рынках. Модель, которая способна успешно функционировать в условиях фондового рынка, формируется, развивается и реорганизуется, которым является фондовый рынок Украины, получила название квази-Шарппа.

Модель Марковица

Модель базируется на том, что показатели доходности различных ценных бумаг взаимосвязаны: с ростом доходности одних бумаг наблюдается одновременный рост и за другими бумагами, третьи оставь шаються без изменений, а в четвертых, наоборот, доходность снижается. Такой вид зависимости не детерминированным, т.е. однозначно определенным, а является стохастическим, и называется корреляциейю.

Модель. Марковица имеет следующие основные предположения:

За доходность ценных бумаг принимается математическое ожидание доходности;

За риск ценных бумаг принимается среднее отклонение доходности;

Считается, что данные прошлых периодов, использованные при расчетах доходности и риска, полностью отражают будущие значения доходности;

Степень и характер взаимосвязи между ценными бумагами выражается коэффициентом линейной корреляции

По модели. Марковица, доходность портфеля ценных бумаг - это средневзвешенная доходность бумаг, его составляющих, определяется формулой:

С использованием модели. Марковица для расчета характеристик портфеля прямая задача приобретает вид:

где r at, г ы, - доходность ценных бумаг а и b в периодt

Понятно, что для N ценных бумаг необходимо рассчитать N (N-1) / 2 коэффициентов корреляции

Доходность ценных бумаг состоит из курсовой разницы, дивидендных платежей, купонных платежей, дисконта и т.п.. В условиях современного фондового рынка Украины рассчитывать на дивиденды пока еще рано чере ез это за доходность ценных бумаг принимается относительная курсовая разницця.

Модель Шарпа

В отличие от модели. Марковица, которая рассматривает взаимосвязь доходности ценных бумаг, модель. Шарпа рассматривает взаимосвязь доходности каждой ценной бумаги с доходностью рынка в целом

Основные допущения модели. Шарпа:

Как доходность ценной бумаги принимается математическое ожидание доходности;

Существует некоторая безрисковая ставка доходности Rt, то есть доходность какого-то ценной бумаги, риск которого всегда минимальный по сравнению с другими ценными бумагами;

Взаимосвязь отклонений доходности ценной бумаги от без-рисковой ставки доходности (далее - отклонение доходности ценной бумаги) с отклонением доходности рынка в целом от безрисковой ставки до охидности (далее - отклонение доходности рынка) описывается функцией линейной регрессии

Под риском ценной бумаги понимается степень зависимости изменений доходности ценной бумаги от изменений доходности рынка в целом;

Считается, что данные прошлых периодов, используемые при расчете доходности и риска, отражают в полной мере, будущие значения доходности

По модели. Шарпа, отклонение доходности ценной бумаги связываются с отклонениями доходности рынка функцией линейной регрессии вида:

где (ri, - R t) - отклонение доходности ценной бумаги от безривикового; (Rm - Rt) - отклонение доходности рынка от бсзриликового; pi,. РR, - коэффициенты регрессии

Исходя из формулы, можно, по прогнозируемой доходностью рынка ценных бумаг в целом, рассчитать доходность любой ценной бумаги, составляемом:

Теоретически, если рынок ценных бумаг находится в равновесии, то коэффициент р, равна нулю. Но, поскольку на практике рынок всегда разбалансирован, то д показывает избыточную доходность ценной бумагой эра (положительную или отрицательную), то есть насколько эта ценная бумага переоценивается или недооценивается инвесторамми.

Коэффициент. ПР называют PR-риском, поскольку он характеризует степень зависимости отклонений доходности ценной бумаги от отклонений доходности рынка в целом. Основное преимущество модели. Шарпа - математически в обоснована взаимозависимость доходности и риска: чем больше риск, тем выше доходность ценной бумагиа.

Кроме того, модель. Шарпа имеет особенность: существует опасность, что оцениваемое отклонение доходности ценной бумаги не будет принадлежать построенной линии регрессии. Этот риск называют остаточным риском. Остаточный р риск характеризует степень разбросанности значений отклонений доходности ценной бумаги вокруг линии регрессии. Остаточный риск определяют как среднеквадратичную расстояние от точек доходности ценной бумагой ра к линии регрессии. Остаточный риск 1-го ценной бумаги обозначают р,%р,%*

Иными словами, рискованность вложения средств в эту ценную бумагу определяется p-риском и остаточным риском р"

По модели. Шарпа, доходность портфеля ценных бумаг это средневзвешенная доходность ценных бумаг, его составляющих, с учетом в риска ценных бумаг. Доходность портфеля определяется по формуле

При практическом применении модели. Шарпа для оптимизации фондового портфеля используются следующие предположения и формулы:

1. По безрисковую ставку доходности. И?,. Принимают доходность государственных ценных бумаг, например, облигаций внутреннего государственного пояикм

2. Как доходность рынка ценных бумаг в целом в период / используются экспертные оценки рыночной доходности аналогичных компаний, из средств массовой информации и т.п.. В условиях развитого фондово ого рынке для этих целей принято использовать любые фондовые индексы. Для не очень большого, по количеству ценных бумаг, фондового рынка берется среднее значение доходности ценных бумаг, ст адають рынок, за этот же период и і:

бы. Остаточный риск ценной бумаги имеет следующий вид:

Основной недостаток модели - необходимость прогнозировать доходность фондового рынка и безрисковую ставку доходности. Модель не учитывает риск колебаний безрисковой доходности. Кроме того, при значительном изменении с соотношение между безрисковой доходностью и доходностью фондового рынка модель дает погрешности. Таким образом, модель. Шарпа может применяться при рассмотрении большого количества ценных бумаг, описывающих ве лику долю относительно стабильного фондового рынковнку.

Риск рынка ценных бумаг в целом равна 2,36%

В 1964 г. У. Шарпом была предложена однофакторная рыночная модель доходности актива. Он сформулировал и обосновал утверждение о том, что доходность любого капитального финансового актива, обращающегося на фондовом рынке, точно коррелирует с некоторым фактором, присущим данному рынку. В качестве такого фактора может быть выбран уровень доходности рыночного индекса.

Рыночный индекс - это взвешенная сумма курсов наиболее важных для рынка ценных бумаг, а доходность рыночного индекса представляет собой их усредненную доходность.

Одним из наиболее широко известных рыночных индексов в США является S&P 500, который представляет собой средневзвешенную величину курсов акций 500 наиболее крупных компаний, а наиболее часто цитируемым рыночным индексом является индекс Доу - Джонса {DJIA).

В России наиболее известным является индекс РТС , определяемый по акциям наиболее крупных российских компаний.

Рыночный портфель - совокупность всех акций, обращающихся на фондовом рынке. Однако в связи с тем, что точно определить структуру рыночного портфеля не удается, в качестве рыночного портфеля используют рыночный индекс.

В рыночной модели предполагается, что доход по акции связан с доходом по рыночному индексу следующим образом:

где г,-, г м - фактические доходности акции данного вида и рыночного индекса в определенные моменты времени;

cw - ордината точки пересечения прямой с вертикальной осью;

Р/м - величина наклона прямой;

?/л/ - величина случайной ошибки.

Коэффициент наклона рыночной модели часто называют коэффициентом бета (или просто бетой).

Рыночный индекс г м в определенной степени отражает состояние экономики в целом, а рыночная модель показывает, насколько доходность ценной бумаги соответствует экономической динамике страны.

На основе выборочных наблюдений определяется характеристическая линия данной ценной бумаги:

где тi = М(г г), г м - ожидаемая доходность акции данного вида и рыночного портфеля соответственно:

Коэффициенты а, и (3, рассчитываются по формулам

где GjM - ковариация между доходностью i-и ценной бумаги и доходностью рыночного индекса;

7 М - среднее значение доходности индекса;

g 2 m -- дисперсия доходности индекса.

Диверсификация

Исходя из рыночной модели, общий риск ценной бумаги i, измеряемый ее дисперсией о 2 , состоит из двух частей: 1) рыночный (или систематический) риск; 2) собственный, нерыночный (или несистематический) риск:

где g 2 m - дисперсия доходности рыночного индекса;

(3 2 а^ - рыночный риск ценной бумаги i; а 2 - собственный риск ценной бумаги i, мерой которого является дисперсия случайной погрешности е ш .

Общий риск портфеля. Если долю фондов инвестора, вложенную в ценную бумагу i данного портфеля р , обозначить через Xi, то доходность портфеля

Таким образом, рыночная модель портфеля является прямым обобщением рыночных моделей отдельных ценных бумаг.

Общий риск портфеля есть

г Д е Pp=(Z-*.P) 2 -

Предполагая, что случайные отклонения доходности ценных бумаг являются некоррелированными, имеем а 2 ер = x 2 G 2 Fi .

Таким образом, общий риск портфеля состоит из двух компонентов, аналогичных двум компонентам общего риска отдельных ценных бумаг. Эти компоненты также носят название рыночного риска (P^cj^) и собственного риска ().

Рыночный риск портфеля. Чем более диверсифицирован портфель (т. е. чем большее количество ценных бумаг в него входит), тем меньше каждая доля x t . Так как коэффициент бета портфеля является средним значением коэффициентов бета ценных бумаг, входящих в портфель, то значение (3 ; , при диверсификации не меняется существенным образом. Можно утверждать, что диверсификация приводит к усреднению рыночного риска.

Собственный риск портфеля. Если предположить, что во все ценные бумаги инвестировано одинаковое количество средств, то доля х { составит VN, а уровень собственного риска будет равен

Значение, находящееся внутри круглых скобок последнего выражения, является средним собственным риском ценных бумаг, образующих портфель. Но собственный риск портфеля в N раз меньше данного значения. Если портфель становится более диверсифицированным, то количество бумаг в нем (N) становится больше. Это означает, что величина VN уменьшается, что приводит к уменьшению собственного риска портфеля.

Можно утверждать, что диверсификация существенно уменьшает собственный риск.

Таким образом, увеличение диверсификации может привести к снижению общего риска портфеля. Это происходит вследствие сокращения собственного риска портфеля, в то время как рыночный риск портфеля остается приблизительно таким же. Рис. 13.13 показывает, как диверсификация приводит к снижению собственного риска и усреднению рыночного риска.

Рис. 13.13. Риск и диверсификация Упражнение 13.3. Рыночная модель портфеля имеет вид

Какой будет ожидаемая доходность портфеля, если ожидаемая доходность на индекс рынка составляет 12 %?

Ответ: 12,3 %.

Упражнение 13.4. Портфель составлен из трех ценных бумаг, характеристики которых представлены в табл. 13.11

Таблица 13.11

Исходные данные для упражнения 13.4

Вычислите общий риск портфеля, если стандартное отклонение доходности рыночного индекса равняется 18%.

Ответ: 19,7 %.А

Пример 13.11. Рассмотрим два портфеля: один, состоящий из четырех ценных бумаг; а второй - из десяти. Все ценные бумаги имеют бета-коэффициент, равный единице, и собственный риск в 30 %. В обоих портфелях доли всех ценных бумаг одинаковы. Вычислим общий риск обоих портфелей, если стандартное отклонение доходности индекса рынка составляет 20 %.

Т Пусть N - число ценных бумаг в портфеле, тогда доля х,- составит 1 IN.

Уровень собственного риска портфеля будет равен

Бета портфеля: $ р = 1. Общий риск портфеля:

Стандартное отклонение доходности первого портфеля (N= 4):

Стандартное отклонение доходности второго портфеля (N= 10):

Пример 13.12. Рассмотрим две ценные бумаги А и В с коэффициентами бета, равными = 1,2 и (3 5 = 0,8; собственными рисками су 2 а = 37 и а 2 в =23. Дисперсия доходности рыночного индекса 2 м =64.

Т Значения дисперсии доходности для ценных бумаг А и В есть: с^ = (1,2 2 64) + 37 = 129 и о 2 = (0,8 2 64) + 23 = 64.

a) Портфель, состоящий из двух ценных бумаг. Рассмотрим комбинацию ценных бумаг А и В в портфеле, образованном вложением равного количества денег инвестора в каждую ценную бумагу, т. е. Хд=Хв = 0,5.

Бета данного портфеля:

Дисперсия доходности портфеля: (1,0 2 64) + 15 = 79.

Данное выражение показывает общий риск портфеля, состоящего из двух ценных бумаг.

b) Портфель, состоящий из трех ценных бумаг. Добавим к двум ценным бумагам А и В третью (Q ценную бумагу с р с = 1 и а ес = 30. Сформируем портфель, состоящий из трех ценных бумаг, взятых в равных пропорциях (х А =хв = х с = 0,33).

Дисперсия доходности ценной бумаги С есть

Бета портфеля:

Таким образом, увеличение диверсификации не привело к изменению уровня рыночного риска. Вместо этого оно привело к усреднению рыночного риска.

Дисперсия случайного отклонения доходности портфеля:

Отметим, что дисперсия случайного отклонения доходности портфеля, состоящего из трех ценных бумаг, меньше дисперсии доходности портфеля, состоящего из двух ценных бумаг (т. е. 10

Доходность портфеля, состоящего из трех ценных бумаг, имеет дисперсию

Это выражение показывает общий риск портфеля, значение которого меньше, чем значение общего риска портфеля, состоящего из двух ценных бумаг (74

Для определения риска портфеля можно также использовать формулу, предложенную Марковицем:

тогда дисперсия доходности портфеля, состоящего:

a) из двух ценных бумаг: а 2 = х 2 А а 2 А + х 2 в (5 2 в + "1х А х в $ А $ в (5 2 м = = 0,5 2 129 + 0,5 2 64 + 2 0,5 0,5 1,2 0,8 64 = 79;

b) трех ценных бумаг: а 2 = х А о 2 + х 2 в а 2 в + х 2 с

2x a x c $ a $ c g 2 m + 2х в х с $ в $ c g 2 m = 0,33 2 129 + 0,33 2 64 + 0,33 2 94 + + 2 0,33 0,33 1,2 0,8 64 + 2 0,33 0,33 1,2 1,0 64 + + 2 0,33 0,33 0,8 1,0 64 = 74. А

Бета-коэффициент. Для измерения рыночного риска актива (портфеля) используется величина бета. Она показывает зависимость между доходностью актива (портфеля) и доходностью рынка. Доходность рынка - это доходность рыночного портфеля.

Поскольку величина бета определяется по отношению к рыночному портфелю, то бета самого рыночного портфеля равна единице, так как ковариация доходности рыночного портфеля с самой собой есть ее дисперсия, отсюда

где Рд/ - бета рыночного портфеля.

Бета актива (портфеля) без риска равна нулю, потому что нулю равна ковариация доходности актива (портфеля) без риска с доходностью рыночного портфеля.

Величина (3 актива (портфеля) говорит о том, насколько его риск больше или меньше риска рыночного портфеля.

Если для акции некоторой компании:

• |(3/| = 1, то доходность этой акции в среднем совпадает с доходностью рыночного портфеля, или, с другой стороны, акции данной компании имеют среднюю степень риска, сложившуюся на рынке в целом (такие акции называются среднерисковыми);
• |(3,| > 1, то доходность этой акции растет в среднем быстрее, чем по рыночному портфелю, или, с другой стороны, акции данной компании более рискованные, чем в среднем на рынке (такие акции называются агрессивными). Такие акции следует иметь в своем портфеле, когда ожидается рост доходности рыночного портфеля. Они могут обеспечить инвестору более высокий уровень доходности, чем в среднем по рынку;
• |(3,|

Бета может быть как положительной, так и отрицательной величиной.

• (3, > 0, то доходность бумаг данного вида колеблется в такт с рынком;

Активы с отрицательной бетой являются ценными инструментами для диверсификации портфеля, поскольку в этом случае можно построить портфель с «нулевой бетой», который не будет нести риска.

Рассмотрим портфель из акций двух видов. Ожидаемая доходность такого портфеля и ее дисперсия есть:

Из формулы для дисперсии следует, что уменьшение риска портфеля по сравнению с риском вложений в каждый вид ценных бумаг зависит от степени коррелированности р 12 доходности этих ценных бумаг, а также от выбора структуры портфеля. Можно показать, что при коэффициенте pi 2 = -1 существует структура портфеля с нулевым риском.

Действительно, из условий

следует, что портфель, содержащий рисковые бумаги с отрицательной корреляцией p l2 = -1 в пропорциях

имеет нулевой риск. Доходность такого безрискового портфеля равна

Пример 13.13. Имеется портфель, состоящий из двух ценных бумаг, характеристики которых приведены в табл. 13.12.

Таблица 13.12

Исходные данные для примера 13.13

Для различных уровней корреляции этих ценных бумаг определим максимальное и минимальное значения стандартного отклонения доходности портфеля.

Т Из выражения дисперсии доходности портфеля

следует: при p J2 = 1 имеем max а р = x t ai + х 2 а 2 - 0,35 20 + 0,65 х х 25 = 23,25 %; при р 12 = -1 имеем min = x 0 -x 2 a 2 | = 0,65 25 - -0,35 20 = 9,25 %. А

Пример 13.14. Рассматриваются две акции: акция 1, акция 2. Пусть известны индекс РТС и курсы акций на конец месяца (табл. 13.13).

Таблица 13.13

Исходные данные для примера 13.14, долл.

При определении доходности будем учитывать только изменения курса акций (без учета дивидендов).

Преобразуя данные табл. 13.13, определим доходности индекса РТС и акций обоих видов в течение указанного периода (табл. 13.14).

Например, доходность в феврале.

Индекс РТС: 100 (70,03 - 55,12)/55,12 = 27,05 %;

Курс акции 1: 100 (0,099 - 0,071)/0,071 = 39,44 %;

Курс акции 2: 100 (0,044 - 0,027)/0,027 = 62,96 %.

Фактическая доходность для примера 13.14, %

Преобразование данных табл. 13.13 в данные табл. 13.14 удобно производить с использованием электронных таблиц Excel. Используя пакет Анализ данных Excel (инструмент Регрессия ), получим характеристические линии соответствующих акций:

где nij, Т м - ожидаемая доходность /-й акции и рыночного портфеля соответственно.

• акция 1: ai = 4,17; pi = 0,93; Rf = 0,72; o e i = 12,96;
• акция 2: a 2 = 1,60; (3 2 = 1,19; R% = 0,77; о е 2 = 14,65.

На рис. 13.14 представлены графики характеристических линий обеих акций.

Полученные уравнения можно использовать для прогнозирования ожидаемой доходности акций в зависимости от прогноза ожидаемой доходности по фондовому рынку.

Анализ полученных результатов.

Расчетные значения коэффициентов альфа показывают, что при нулевой доходности фондового рынка большая доходность достигается по акциям 1:

Рис. 13.14.

Из сравнения значений коэффициентов бета для акций обоих видов следует, что с ростом доходности фондового рынка доходность по акциям 2 будет возрастать быстрее, чем по в среднем по рынку, а при падении доходности фондового рынка доходность по акциям 1 будет падать медленнее, чем в среднем по рынку:

• Коэффициенты Я 2 = 0,72 и Я 2 = 0,77 показывают долю рыночного риска в общем риске по соответствующим акциям в форме дисперсии, а доля нерыночного риска: (1 - Rf ) = 1 - 0,72 = 0,28 и(1 - Д 2)= 1 - 0,77 = 0,23.
• Из рис. 13.14 следует, что с ростом доходности фондового рынка ожидаемая доходность акций обоих видов возрастает. При относительно небольшой доходности фондового рынка большую ожидаемую доходность обеспечивают акции 1. В точке пересечения прямых ожидаемые доходности по акциям обоих видов совпадают. При дальнейшем увеличении ожидаемой доходности фондового рынка большую доходность обеспечивают акции 2, для которых коэффициент бета больше единицы.

Анализ полученных данных показывает, что при ожидаемом уменьшении доходности рыночного портфеля (соответствующего биржевого индекса) целесообразнее иметь в портфеле акции с коэффициентом бета меньше единицы, а при прогнозируемом увеличении доходности рыночного портфеля - акции с коэффициентом бета больше единицы. ?

Информация о значениях коэффициентов а, (3, R 2 и о Е для различных ценных бумаг, определенных подобным образом в зависимости от выбранного рыночного портфеля и установленного периода наблюдения, регулярно публикуется в специальных бюллетенях.

Пример 13.15. Акции компании имеют бета-коэффициент, равный 1,20. В течение пяти лет акции этой компании и индекс рынка демонстрировали доходность, представленную в табл. 13.15.

Таблица 13.15

Исходные данные о доходности для примера 13.15, %

Предполагая, что коэффициент смещения рыночной модели равен 0 %, вычислим стандартное отклонение случайной погрешности рыночной модели за данный период.

ТПо условию ожидаемые доходности акций компании задаются выражением т, = 1,2гм. В табл. 13.16 приведены значения ожидаемой и фактической доходности за рассматриваемый период.

Таблица 13.16

Расчетная таблица доходности акций для примера 13.15

Стандартное отклонение случайной погрешности за данный период: ?о 2 /5 = 4,39/5 = 0,88. А

Добрый день, уважаемое сообщество трейдеров, инвесторов и всех кто интересуется рынком ценных бумаг!

Модель У. Шарпа или как её ещё называют часто рыночная модель была впервые предложена американским экономистом, лауреатом Нобелевской премии Уильямом Форсайтом Шарпом в середине 60-х годов прошлого столетия.

Уильям Ф. Шарп является в настоящее время почетным профессором Высшей школы бизнеса Стэнфордского университета.

В 1990 г. он получил Нобелевскую премию по экономике, которую он получил за развитие теории оценки финансовых активов.

В модели Шарпа представлена зависимость между ожидаемой доходностью актива и ожидаемой доходностью рынка. Предполагается, что доходность обыкновенной акции за определенный период связанна с доходностью за аналогичный период с доходностью рыночного индекса. В этом случае с ростом рыночного индекса, вероятно, будет расти и цена акции и наоборот.

Таким образом данная модель предполагается линейной. А уравнение предложенной модели имеет следующий вид:

Главное отличие модели У. Шарпа от модели Г. Марковица состоит в следующем:

Модель Шарпа рассматривает взаимосвязь доходности каждой ценной бумаги с доходностью рынка в целом, в то время как модель Марковица - рассматривает взаимосвязь доходностей ценных бумаг между собой.

Именно для того, чтобы избежать высокую трудоемкость модели Марковица Уильям Шарп предложил рыночную (индексную) модель. При этом модель Шарпа это не новый метод составления портфеля ценных бумаг - это упрощенная модель Марковица, где решение проблемы выбора оптимального портфеля осуществляется с меньшими усилиями. Модель Шарпа обычно применяют при рассмотрении большого количества ценных бумаг, которые представляют значительную часть рынка.

Весьма интересным представляется сравнение результатов полученных по модели Марковица и модели Шарпа.

Для этого мной было разработано приложение, в Microsoft Office Excel*, под названием - "".

В недавнем своем посте я демонстрировал результат расчета определения оптимального расчета на российском рынке акций по модели Марковица со следующими вводными:

• были взяты акции входящие в расчет основного индекса Московской Биржи - Индекса ММВБ - 50 наиболее ликвидных и капитализированных ценных бумаг на российском рынке акций;
• исторический период для анализа по рассматриваемым инструментам был выбран с 09 января 2007 года по 24 октября 2013 года;
• уровень ожидаемой доходности - максимальный;
• уровень приемлемого риска - минимальный;
• диверсификация (максимальная доля вложений в финансовый инструмент) - 15% от имеющихся активов;
• минимальный уровень дневной ликвидности по акциям - 6 млн. рублей.

Полученный результат по указанным моделям Вы можете видеть ниже:

Модель Марковица:

Модель Шарпа:


Как видно разница в составе предложенных оптимальных портфелей ценных бумаг небольшая. В модели Шарпа доля бумаг Северстали составила - 11% против 2,8% в модели Марковица; акции Башнефти в модели Шарпа менее 1%, в модели Марковица - 5,8%; в модели Шарпа акции НЛМК -13,3%, в модели Марковица - 15%; в модели Шарпа акций Татнефти нет совсем, в модели Марковица - 1,5%. Остальные доли бумаг одинаковы для описываемых моделей.

Итоговые параметры следующие:

Модель Марковица:


Модель Шарпа:

Здесь мы наблюдаем, что при одинаковом уровне риска доходность портфеля Шарпа оказывается несколько выше доходности по модели Марковица - 26,75% против 24,32% годовых, соответственно. При этом мы видим, что бета портфеля по модели Шарпа также выше беты получаемой по модели Марковица (0,64 против 0,59), а это, в свою очередь говорит о том, что портфель Шарпа является чуть менее оборонительным (защитным), чем портфель Марковица.

Рыночная модель У. Шарпа оптимального портфеля в итоге выглядит следующим образом:

Все остальные расчетные показатели в представленном приложении "Портфельные инвестиции на российском рынке акций по модели У. Шарпа (рыночная модель) " являются такими же как и в модели Марковица.

Приложение "Портфельные инвестиции на российском рынке акций по модели У. Шарпа (рыночная модель) " содержит также те же технические характеристики, что и приложение «Портфельные инвестиции на российском рынке акций по модели Марковица»

В журнале сделок настроен удобный, быстрый переход от одной страницы к другой за счет внутренних гиперссылок. Гиперссылки к графикам позволят быстро перейти к нужной сводной таблице на базе которых они построены. В наличии подробная инструкция для работы с приложением.
Всего в приложении более 65 различных графиков , более 75 сводных таблиц и все четко структурированы.

Приложение настроено так, что Вы легко сможете распечатать все листы (нет необходимости специально форматировать их), чтобы делать для себя специальные папки куда вы можете подшивать Ваши расчеты и т.д. и т.п. Все страницы пронумерованы.

Также Вы сможете, при желании, преобразовать его в удобный, читаемый PDF формат (при наличии специальной программы для создания PDF файлов).

Для наглядности я выложил итоговый файл с данными, преобразованный в PDF формат, на общем диске. Вы можете пройти по ссылке и посмотреть либо скачать:

Все формулы в приложении открыты так, что Вы можете заглянуть в глубь самих расчетов в части использованных в приложении различных показателей.

При желании исходную базу данных приложения о ценовых параметрах, уже включенных в него финансовых инструментов, можно изменить, расширить (как по перечню рассматриваемых бумаг, так и по горизонту их исследования) и конечно же периодически обновлять приложение на текущую дату.

В условиях развитых и стабильно функционирующих фондовых рынков вышеупомянутые классические модели Марковица и Шарпа работают вполне эффективно. При этом в современных условиях применение лишь отдельно взятой модели не является правильным. Модели У. Шарпа и Г. Марковица могут являться хорошим дополнением к другим факторам при составлении оптимального портфеля ценных бумаг.

"Портфельные инвестиции на российском рынке акций по модели У. Шарпа (рыночная модель) " - это отличный инструмент для профессионального подхода к инвестированию на рынке ценных бумаг.

Если Вас заинтересовало приложение, то его можно приобрести либо на сайте.