Вторая космическая скорость для планет солнечной системы. Доклад: Космические скорости
Самые первые источники письменности, устные легенды и сказания, передаваемые из уст в уста, свидетельствуют о желании человека летать, подобно птице. И вот летательные аппараты легко обгоняют любых птиц. Но человек не только освоил воздушное пространство, этого ему показалось мало.
Активно осваивается ближний космос, на Земной орбите находятся целые комплексы, состоящие из жилых, научных, технических модулей. По красной планете - Марсу - вовсю колесят исследовательские автоматические аппараты, по поверхности Луны делаются «огромные шаги человечества», а миссии «Вояджер» вообще навсегда покидают свою родную звезду. С какой скоростью летят аппараты в космосе? "Вторая космическая скорость" - что означает это словосочетание?
Как оторваться от Земли и как её покинуть
Для начала рассмотрим, как вообще летают наши космические аппараты. Представим, что на поверхности Земли построена некая фантастическая башня. Настолько высокая, что её вершина расположена там, где уже совсем нет воздуха. На верхней площадке сооружения ставим пушку, способную выпускать снаряды с разными начальными скоростями.
Первый снаряд выпускается с небольшим количеством пороха в заряде. Снаряд, падает недалеко от башни. Если каждый последующий выстрел производить, последовательно увеличивая мощность заряда, снаряды, выпускаемые из пушки, будут падать всё дальше, огибая земной шар.
При условии, что наша пушка установлена так высоко, что снаряды будут лететь вне атмосферы, и воздух не станет тормозить их движение, в определённый момент снаряд (под номером 6 на рисунке) вообще не упадёт на поверхность планеты. Обогнув её, он пролетит рядом с выпустившей его пушкой и пойдёт на второй, третий круг и т. д. Такой эффект мы сможем наблюдать, когда начальная скорость снаряда будет 7,91 километров в секунду - это и есть первая космическая скорость.
А что будет, если скорость повышать дальше? Если выпустить снаряд из пушки так, чтобы летел он быстрее 11 км/с, траектория его превратится из эллипса в параболу (линия 7 на рисунке) и он, преодолев силу притяжения, навсегда покинет нашу планету. Это в небесной механике вторая космическая скорость.
Кто был первым
Кто же сумел первым придать технике такие скорости? Обе - первая и вторая космические скорости - были достигнуты аппаратами, изготовленными руками советских инженеров.
Осенью 57 года прошлого века советская ракета-носитель P-7, развив первую космическую скорость, выводит на орбиту Земли первый в истории человечества искусственный спутник. Но человек не был бы самим собой, если бы его удовлетворила участь кружиться вокруг своей колыбели.
Спустя буквально два года, опять же советским, космическим кораблём была достигнута вторая космическая скорость ракет, позволившая миссии преодолеть земное притяжение и направиться в сторону Луны.
Как рассчитать
А от чего зависит величина космических скоростей? Очевидно, во первых, от мощности гравитационного поля, которое создаёт космическое тело. Одно дело оторваться от астероида, где придать мячу вторую космическую скорость можно просто - посильнее размахнувшись, швырнуть его в космос. Другое дело - покинуть пределы Земли, с её массой.
Есть ещё один нюанс. Рассмотрим две планеты, вращающиеся вокруг Солнца: Меркурий и малую планету , открытую недавно, Эриду. Оба космических тела вращаются вокруг одного и того же светила с одной и той же массой. Но вот 1 космическая скорость у Меркурия составляет около 50 км/с, Эрида же летит по своей орбите намного медленнее - около 3,5 км/с. В чём же дело? А в том, что Эрида в 200 раз дальше от светила чем Меркурий и сила притяжения Солнца там в 200 в кубе раз слабее. Отсюда ещё один фактор - расстояние от центра космического тела. То есть чем ближе к нему мы находимся, тем выше будет вторая космическая скорость. Формула первой космической скорости известна из школьного курса физики.
- G - константа гравитации, принимается в расчётах 6,67 ∙ 10 -11 м 3 ∙с -2 ∙кг;
- M - масса космического тела;
- R - расстояние от центра планеты до орбиты (радиус вращения).
Не сложно вычисляется и вторая космическая скорость. Формула ее приведена ниже.
Для того чтобы, находясь в районе земной орбиты, навсегда покинуть Солнечную систему, необходимо разогнаться до скорости (относительно Солнца) 47 км/с, ее принято называть третьей космической.
Наше Солнце так же, как вокруг него планеты, само вращается вокруг центра галактики, именумой Млечным Путем, со скоростью около 250 километров в секунду. Для того чтобы навсегда распрощаться с галактикой, ему понадобилась бы скорость порядка 650 км/с (космическая скорость № 4).
Вторая космическая скорость для небольшого астероида составляет около 30-60 м/с. Улететь от такого объекта в космосе несложно. Другое дело - нейтронные звёзды или ещё чего похуже - чёрные дыры. Вторая космическая скорость для чёрной дыры - свыше 300 тысяч километров в секунду - выше скорости света. Именно поэтому ни один объект, даже свет, не в состоянии покинуть объятия этого космического монстра.
Министерство образования и науки РФ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет экономики и финансов»
Кафедра систем технологий и товароведения
Доклад по курсу концепции современного естествознания на тему «Космические скорости»
Выполнила:
Проверил:
г. Санкт-Петербург
Космические скорости.
Космическая скорость (первая v1, вторая v2, третья v3 и четвёртая v4) - это минимальная скорость, при которой какое-либо тело в свободном движении сможет:
v1 - стать спутником небесного тела (то есть способность вращаться по орбите вокруг НТ и не падать на поверхность НТ).
v2 - преодолеть гравитационное притяжение небесного тела.
v3 - покинуть Солнечную систему, преодолев притяжение Солнца.
v4 - покинуть галактику Млечный Путь.
Первая космическая скорость или Круговая скорость V1 - скорость, которую необходимо придать объекту без двигателя, пренебрегая сопротивлением атмосферы и вращением планеты, чтобы вывести его на круговую орбиту с радиусом, равным радиусу планеты. Иными словами, первая космическая скорость - это минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью планеты, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите.
Для вычисления первой космической скорости необходимо рассмотреть равенство центробежной силы и силы тяготения действующих на объект на круговой орбите.
где m - масса объекта, M - масса планеты, G - гравитационная постоянная (6,67259·10−11 м³·кг−1·с−2), - первая космическая скорость, R - радиус планеты. Подставляя численные значения (для Земли M = 5,97·1024 кг, R = 6 378 км), найдем
7,9 км/сПервую космическую скорость можно определить через ускорение свободного падения - так как g = GM/R², то
Вторая космическая скорость (параболическая скорость, скорость убегания) - наименьшая скорость, которую необходимо придать объекту (например, космическому аппарату), масса которого пренебрежимо мала относительно массы небесного тела (например, планеты), для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела. Предполагается, что после приобретения телом этой скорости оно не получает негравитационного ускорения (двигатель выключен, атмосфера отсутствует).
Вторая космическая скорость определяется радиусом и массой небесного тела, поэтому она своя для каждого небесного тела (для каждой планеты) и является его характеристикой. Для Земли вторая космическая скорость равна 11,2 км/с. Тело, имеющее около Земли такую скорость, покидает окрестности Земли и становится спутником Солнца. Для Солнца вторая космическая скорость составляет 617,7 км/с.
Параболической вторая космическая скорость называется потому, что тела, имеющие вторую космическую скорость, движутся по параболе.
Вывод формулы:
Для получения формулы второй космической скорости удобно обратить задачу - спросить, какую скорость получит тело на поверхности планеты, если будет падать на неё из бесконечности. Очевидно, что это именно та скорость, которую надо придать телу на поверхности планеты, чтобы вывести его за пределы её гравитационного влияния.
Запишем закон сохранения энергии
где слева стоят кинетическая и потенциальная энергии на поверхности планеты (потенциальная энергия отрицательна, так как точка отсчета взята на бесконечности), справа то же, но на бесконечности (покоящееся тело на границе гравитационного влияния - энергия равна нулю). Здесь m - масса пробного тела, M - масса планеты, R - радиус планеты, G - гравитационная постоянная, v2 - вторая космическая скорость.
Разрешая относительно v2, получим
Между первой и второй космическими скоростями существует простое соотношение:
Третья космическая скорость - минимально необходимая скорость тела без двигателя, позволяющая преодолеть притяжение Солнца и в результате уйти за пределы Солнечной системы в межзвёздное пространство.
Взлетая с поверхности Земли и наилучшим образом используя орбитальное движение планеты космический аппарат может достичь третей космической скорости уже при 16,6 км/с относительно Земли, а при старте с Земли в самом неблагоприятном направлении его необходимо разогнать до 72,8 км/с. Здесь для расчёта предполагается, что космический аппарат приобретает эту скорость сразу на поверхности Земли и после этого не получает негравитационного ускорения (двигатели выключены и сопротивление атмосферы отсутствует). При наиболее энергетически выгодном старте скорость объекта должна быть сонаправлена скорости орбитального движения Земли вокруг Солнца. Орбита такого аппарата в Солнечной системе представляет собой параболу (скорость убывает к нулю асимптотически).
Четвёртая космическая скорость - минимально необходимая скорость тела без двигателя, позволяющая преодолеть притяжение галактики Млечный Путь. Четвёртая космическая скорость не постоянна для всех точек Галактики, а зависит от расстояния до центральной массы (для нашей галактики таковой является объект Стрелец A*, сверхмассивная чёрная дыра). По грубым предварительным расчётам в районе нашего Солнца четвёртая космическая скорость составляет около 550 км/с. Значение сильно зависит не только (и не столько) от расстояния до центра галактики, а от распределения масс вещества по Галактике, о которых пока нет точных данных, ввиду того что видимая материя составляет лишь малую часть общей гравитирующей массы, а все остальное - скрытая масса.
Для определения двух характерных «космических» скоростей, связанных с размерами и полем тяготения некоторой планеты. Планету будем считать одним шаром.
Рис. 5.8. Различные траектории движения спутников вокруг Земли
Первой космической скоростью называют такую горизонтально направленную минимальную скорость, при которой тело могло бы двигаться вокруг Земли по круговой орбите, то есть превратиться в искусственный спутник Земли.
Это, конечно идеализация, во-первых планета не шар, во-вторых, если у планеты есть достаточно плотная атмосфера, то такой спутник - даже если его удастся запустить - очень быстро сгорит. Другое дело, что, скажем спутник Земли, летающий в ионосфере на средней высоте над поверхностью в 200 км имеет радиус орбиты отличающийся от среднего радиуса Земли всего, примерно, на 3 %.
На спутник, движущийся по круговой орбите радиусом (рис. 5.9), действует сила притяжения Земли, сообщающая ему нормальное ускорение
Рис. 5.9. Движение искусственного спутника Земли по круговой орбите
По второму закону Ньютона имеем
Если спутник движется недалеко от поверхности Земли, то
Поэтому для на Земле получаем
Видно,что действительно определяется параметрами планеты:её радиусом и массой.
Период обращения спутника вокруг Земли равен
где - радиус орбиты спутника, а - его орбитальная скорость.
Минимальное значение периода обращения достигается при движении по орбите, радиус которой равен радиусу планеты:
так что первую космическую скорость можно определить и так: скорость спутника на круговой орбите с минимальным периодом обращения вокруг планеты.
Период обращения растет с увеличением радиуса орбиты.
Если период обращения спутника равен периоду обращения Земли вокруг своей оси и их направления вращения совпадают, а орбита расположена в экваториальной плоскости, то такой спутник называется геостационарным .
Геостационарный спутник постоянно висит над одной и той же точкой поверхности Земли (рис. 5.10).
Рис. 5.10. Движение геостационарного спутника
Для того чтобы тело могло выйти из сферы земного притяжения, то есть могло удалиться на такое расстояние, где притяжение к Земле перестает играть существенную роль, необходима вторая космическая скорость (рис. 5.11).
Второй космической скоростью называют наименьшую скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической, то есть чтобы тело могло превратиться в спутник Солнца.
Рис. 5.11. Вторая космическая скорость
Для того чтобы тело (при отсутствии сопротивления среды) могло преодолеть земное притяжение и уйти в космическое пространство, необходимо, чтобы кинетическая энергия тела на поверхности планеты была равна (или превосходила) работу, совершаемую против сил земного притяжения. Напишем закон сохранения механической энергии Е такого тела. На поверхности планеты, конкретно - Земли
Скорость получится минимальной,если на бесконечном удалении от планеты тело будет покоиться
Приравнивая эти два выражения,получаем
откуда для второй космической скорости имеем
Для сообщения запускаемому объекту необходимой скорости (первой или второй космической) выгодно использовать линейную скорость вращения Земли, то есть запускать его как можно ближе к экватору, где эта скорость составляет, как мы видели, 463 м/с (точнее 465,10 м/с). При этом направление запуска должно совпадать с направлением вращения Земли - с запада на восток. Легко подсчитать, что таким способом можно выиграть несколько процентов в энергетических затратах.
В зависимости от начальной скорости , сообщаемой телу в точке бросания А на поверхности Земли, возможны следующие виды движения (рис. 5.8 и 5.12):
Рис. 5.12. Формы траектории частицы в зависимости от скорости бросания
Совершенно аналогично рассчитывается движение в гравитационном поле любого другого космического тела,например, Солнца. Чтобы преодолеть силу притяжения светила и покинуть Солнечную систему,объекту,покоящемусю относительно Солнца и находящемуся от него на расстоянии, равном радиусу земной орбиты (см. выше), необходимо сообщить минимальную скорость , определяемую из равенства
где , напомним, это радиус земной орбиты, а - масса Солнца.
Отсюда следует формула, аналогичная выражению для второй космической скорости, где надо заменить массу Земли на массу Солнца и радиус Земли на радиус земной орбиты:
Подчеркнем, что - это минимальная скорость, которую надо придать неподвижному телу, находящемуся на земной орбите, чтобы оно преодолело притяжение Солнца.
Отметим также связь
с орбитальной скоростью Земли . Эта связь, как и должно быть - Земля спутник Солнца, такая же, как и между первой и второй космическими скоростями и .
На практике мы запускаем ракету с Земли, так что она заведомо участвует в орбитальном движении вокруг Солнца. Как было показано выше, Земля движется вокруг Солнца с линейной скоростью
Ракету целесообразно запускать в направлении движения Земли вокруг Солнца.
Скорость, которую необходимо сообщить телу на Земле, чтобы оно навсегда покинуло пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью .
Скорость зависит от того, в каком направлении космический корабль выходит из зоны действия земного притяжения. При оптимальном запуске эта скорость составляет приблизительно = 6,6 км/с.
Понять происхождение этого числа можно также из энергетических соображений. Казалось бы, достаточно ракете сообщить относительно Земли скорость
в направлении движения Земли вокруг Солнца, и она покинет пределы Солнечной системы. Но это было бы правильно, если бы Земля не имела собственного поля тяготения. Такую скорость тело должно иметь, уже удалившись из сферы земного притяжения. Поэтому подсчет третьей космической скорости очень похож на вычисление второй космической скорости, но с дополнительным условием - тело на большом расстоянии от Земли должно все еще иметь скорость :
В этом уравнении мы можем выразить потенциальную энергию тела на поверхности Земли (второе слагаемое в левой части уравнения) через вторую космическую скорость в соответствии с полученной ранее формулой для второй космической скорости
Отсюда находим
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Сивухин Д.В. Общий курс физики, том 1, Механика Изд. Наука 1979 г. - стр. 325–332 (§61, 62): выведены формулы для всех космических скоростей (включая третью), решены задачи о движении космических аппаратов, законы Кеплера выведены из закона всемирного тяготения.
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1986/04/polet_k_solncu.html - Журнал «Квант» - полет космического аппарата к Солнцу (А. Бялко).
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1981/12/zvezdnaya_dinamika.html - журнал «Квант» - звездная динамика (А.Чернин).
http://www.plib.ru/library/book/17005.html - Стрелков С.П. Механика Изд. Наука 1971 г. - стр. 138–143 (§§ 40, 41): вязкое трение, закон Ньютона.
http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/1997/06/kv0697sambelashvili.pdf - журнал «Квант» - гравитационная машина (А. Самбелашвили).
http://publ.lib.ru/ARCHIVES/B/""Bibliotechka_""Kvant""/_""Bibliotechka_""Kvant"".html#029 - А.В. Бялко «Наша планета - Земля». Наука 1983 г., гл. 1, пункт 3, стр. 23–26 - приводится схема положения солнечной системы в нашей галактике, направления и скорости движения Солнца и Галактики относительно реликтового излучения.
С древних времен людей интересовала проблема устройства мира. Еще в III-м веке до нашей эры греческий философ Аристарх Самосский высказал идею о том, что Земля вращается вокруг Солнца, и попытался вычислить расстояния и размеры Солнца и Земли по положению Луны. Так как доказательный аппарат Аристарха Самосского был несовершенен, большинство осталось сторонниками пифагорейской геоцентрической системы мира.
Прошло почти два тысячелетия, и идеей гелиоцентрического устройства мира увлекся польский астроном Николай Коперник. Он умер в 1543 году, и вскоре труд всей его жизни опубликовали ученики. Модель и таблицы положения небесных тел Коперника, основанные на гелиоцентрической системе, гораздо точнее отражали положение вещей.
Спустя полвека немецкий математик Иоганн Кеплер, используя скурупулезные записи датского астронома Тихо Браге о наблюдениях небесных тел, вывел законы движения планет, которые сняли неточности модели Коперника.
Завершение XVII века ознаменовалось трудами великого английского ученого Исаака Ньютона. Законы механики и всемирного тяготения Ньютона расширили и дали теоретическое обоснование формулам, выведенным из наблюдений Кеплером.
Наконец, в 1921 году Альберт Эйнштейн предложил общую теорию относительности, наиболее точно описывающую механику небесных тел в настоящее время. Ньютоновские формулы классической механики и теории гравитации до сих пор могут применяться для некоторых вычислений, не требующих большой точности, и там, где релятивистскими эффектами можно пренебречь.
Благодаря Ньютону и его предшественникам мы можем вычислить:
- какую скорость должно иметь тело для сохранения заданной орбиты (первая космическая скорость )
- с какой скоростью должно двигаться тело, чтобы оно преодолело притяжение планеты и стало спутником звезды (вторая космическая скорость )
- минимальную необходимую скорость выхода за пределы планетной системы (третья космическая скорость )
Минимальную скорость, которую нужно сообщить физическому телу (например, космическому аппарату), чтобы оно могло преодолеть гравитационное притяжение небесного объекта (например, планеты или звезды) и навсегда покинуть сферу его гравитационного действия, называют параболической скоростью (тело, имеющее такую скорость, движется по параболической траектории). Параболическая скорость уменьшается с увеличением расстояния от небесного объекта. Параболическую скорость у поверхности небесного объекта называют второй космической скоростью. Для Земли вторая космическая скорость равна 11,18 километра в секунду. Параболическая скорость на высоте 300 километров над поверхностью Земли (уровнем моря) равна 10,93 километра в секунду, на высоте 1000 километров – 6,98 километра в секунду. Для Солнца вторая космическая скорость равна 617,7 километра в секунду, а параболическая скорость на расстоянии 1 астрономической единицы от нашего светила (средний радиус земной орбиты) – 42,1 километра в секунду. Для самой большой планеты Солнечной системы (Юпитера) вторая космическая скорость равна 59,5 километра в секунду, для самой маленькой (Меркурия) – 4,2 километра в секунду.
Чему равна третья космическая скорость?
Третьей космической называют минимальную скорость, которую нужно сообщить телу (например, космическому аппарату) вблизи поверхности Земли, чтобы оно могло, преодолев гравитационное притяжение Земли и Солнца, навсегда покинуть Солнечную систему. Третья космическая скорость равна приблизительно 16,6 километра в секунду (при запуске на высоте 200 километров над земной поверхностью), при этом направление скорости тела относительно Земли должно совпадать с направлением скорости орбитального движения Земли.
Что изучает классическая механика?
Классическая механика изучает движение макроскопических тел со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света. В основе классической механики лежат законы Ньютона. Движение микрочастиц (способ описания и законы движения) в заданных внешних полях изучает квантовая механика, а законы механического движения тел (частиц) при скоростях, сравнимых со скоростью света, изучает релятивистская механика, основанная на специальной теории относительности.
Что удерживает Луну на околоземной орбите?
Упасть на Землю нашему естественному спутнику не позволяет его орбитальная скорость, превышающая первую космическую. А вырваться из гравитационных объятий Земли и навсегда покинуть ее окрестности мешает земное притяжение, для преодоления которого орбитальная скорость Луны недостаточно велика (меньше второй космической ).