Ранг матрицы а равен числу ее столбцов. Ранг матрицы

Число r называется рангом матрицы A , если:
1) в матрице A есть минор порядка r , отличный от нуля;
2) все миноры порядка (r+1) и выше, если они существуют, равны нулю.
Иначе, ранг матрицы – это наивысший порядок минора, отличного от нуля.
Обозначения: rangA , r A или r .
Из определения следует, что r – целое положительное число. Для нуль-матрицы считают ранг равным нулю.

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения ранга матрицы . При этом решение сохраняется в формате Word и Excel . см. пример решения .

Инструкция . Выберите размерность матрицы, нажмите Далее.

Определение . Пусть дана матрица ранга r . Любой минор матрицы, отличный от нуля и имеющий порядок r, называется базисным, а строки и столбцы его составляющие – базисными строками и столбцами.
Согласно этому определению, матрица A может иметь несколько базисных миноров.

Ранг единичной матрицы E равен n (количеству строк).

Пример 1 . Даны две матрицы , и их миноры , . Какой из них можно принять в качестве базисного?
Решение . Минор M 1 =0, поэтому он не может быть базисным ни для одной из матриц. Минор M 2 =-9≠0 и имеет порядок 2, значит его можно принять в качестве базисного матриц A или / и B при условии, что они имеют ранги, равные 2 . Поскольку detB=0 (как определитель с двумя пропорциональными столбцами), то rangB=2 и M 2 можно взять за базисный минор матрицы B. Ранг матрицы A равен 3, в силу того, что detA=-27≠0 и, следовательно, порядок базисного минора этой матрицы должен равняться 3, то есть M 2 не является базисным для матрицы A . Отметим, что у матрицы A единственный базисный минор, равный определителю матрицы A .

Теорема (о базисном миноре). Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (столбцов).
Следствия из теоремы.

Всякие (r+1) столбцов (строк) матрицы ранга r линейно зависимы.
Если ранг матрицы меньше числа ее строк (столбцов), то ее строки (столбцы) линейно зависимы. Если rangA равен числу ее строк (столбцов), то строки (столбцы) линейно независимы.
Определитель матрицы A равен нулю тогда и только тогда, когда ее строки (столбцы) линейно зависимы.
Если к строке (столбцу) матрицы прибавить другую строку, (столбец) умноженную на любое число, отличное от нуля, то ранг матрицы не изменится.
Если в матрице зачеркнуть строку (столбец), являющуюся линейной комбинацией других строк (столбцов), то ранг матрицы не изменится.
Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов).
Максимальное число линейно независимых строк совпадает с максимальным числом линейно независимых столбцов.

Пример 2 . Найти ранг матрицы .
Решение. Исходя из определения ранга матрицы, будем искать минор наивысшего порядка, отличный от нуля. Сначала преобразуем матрицу к более простому виду. Для этого первую строку матрицы умножим на (-2) и прибавим ко второй, затем ее же умножим на (-1) и прибавим к третьей.

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

1) перестановка двух любых строк (или столбцов),

2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

Две матрицы называются эквивалентными , если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A ~ B.

Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю, например,

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

Пример 2 Найти ранг матрицы

А=

и привести ее к каноническому виду.

Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:

Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:

;

из третьей строки вычтем первую; получим матрицу

В = ,

которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и r(A)=2. Матрицу В легко привести к канонической. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу:

Теоре́ма Кро́некера - Капе́лли - критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, что бы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.

Доказательство (условия совместности системы)

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что .

Достаточность

Пусть . Возьмем в матрице какой-нибудь базисный минор. Так как , то он же и будет базисным минором и матрицы . Тогда, согласно теореме о базисном миноре , последний столбец матрицы будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы .

Следствия

Количество главных переменных системы равно рангу системы.

Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Однородная система уравнений

Предложение 15 . 2 Однородная система уравнений

всегда является совместной.

Доказательство . Для этой системы набор чисел , , , является решением.

В этом разделе мы будем использовать матричную запись системы: .

Предложение 15 . 3 Сумма решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы. Решение, умноженное на число, тоже является решением.

Доказательство . Пусть и служат решениями системы . Тогда и . Пусть . Тогда

Так как , то -- решение.

Пусть -- произвольное число, . Тогда

Так как , то -- решение.

Следствие 15 . 1 Если однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много различных решений.

Действительно, умножая ненулевое решение на различные числа, будем получать различные решения.

Определение 15 . 5 Будем говорить, что решения системы образуют фундаментальную систему решений , если столбцы образуют линейно независимую систему и любое решение системы является линейной комбинацией этих столбцов.

Пусть A - матрица размеров m\times n , а k - натуральное число, не превосходящее m и n : k\leqslant\min\{m;n\} . Минором k-го порядка матрицы A называется определитель матрицы k-го порядка, образованной элементами, стоящими на пересечении произвольно выбранных k строк и k столбцов матрицы A . Обозначая миноры, номера выбранных строк будем указывать верхними индексами, а выбранных столбцов - нижними, располагая их по возрастанию.

Пример 3.4. Записать миноры разных порядков матрицы

A=\begin{pmatrix}1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end{pmatrix}\!.

Решение. Матрица A имеет размеры 3\times4 . Она имеет: 12 миноров 1-го порядка, например, минор M_{{}_2}^{{}_3}=\det(a_{32})=4 ; 18 миноров 2-го порядка, например, M_{{}_{23}}^{{}^{12}}=\begin{vmatrix}2&1\\2&2\end{vmatrix}=2 ; 4 минора 3-го порядка, например,

M_{{}_{134}}^{{}^{123}}= \begin{vmatrix}1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end{vmatrix}=0.

В матрице A размеров m\times n минор r-го порядка называется базисным , если он отличен от нуля, а все миноры (r+1)-ro порядка равны нулю или их вообще не существует.

Рангом матрицы называется порядок базисного минора. В нулевой матрице базисного минора нет. Поэтому ранг нулевой матрицы, по определению полагают равным нулю. Ранг матрицы A обозначается \operatorname{rg}A .

Пример 3.5. Найти все базисные миноры и ранг матрицы

A=\begin{pmatrix}1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}\!.

Решение. Все миноры третьего порядка данной матрицы равны нулю, так как у этих определителей третья строка нулевая. Поэтому базисным может быть только минор второго порядка, расположенный в первых двух строках матрицы. Перебирая 6 возможных миноров, отбираем отличные от нуля

M_{{}_{12}}^{{}^{12}}= M_{{}_{13}}^{{}^{12}}= \begin{vmatrix}1&2\\0&2 \end{vmatrix}\!,\quad M_{{}_{24}}^{{}^{12}}= M_{{}_{34}}^{{}^{12}}= \begin{vmatrix}2&0\\2&3\end{vmatrix}\!,\quad M_{{}_{14}}^{{}^{12}}= \begin{vmatrix}1&0\\0&3\end{vmatrix}\!.

Каждый из этих пяти миноров является базисным. Следовательно, ранг матрицы равен 2.

Замечания 3.2

1. Если в матрице все миноры k-го порядка равны нулю, то равны нулю и миноры более высокого порядка. Действительно, раскладывая минор (k+1)-ro порядка по любой строке, получаем сумму произведений элементов этой строки на миноры k-го порядка, а они равны нулю.

2. Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличного от нуля минора этой матрицы.

3. Если квадратная матрица невырожденная, то ее ранг равен ее порядку. Если квадратная матрица вырожденная, то ее ранг меньше ее порядка.

4. Для ранга применяются также обозначения \operatorname{Rg}A,~ \operatorname{rang}A,~ \operatorname{rank}A .

5. Ранг блочной матрицы определяется как ранг обычной (числовой) матрицы, т.е. не обращая внимания на ее блочную структуру. При этом ранг блочной матрицы не меньше рангов ее блоков: \operatorname{rg}(A\mid B)\geqslant\operatorname{rg}A и \operatorname{rg}(A\mid B)\geqslant\operatorname{rg}B , поскольку все миноры матрицы A (или B ) являются также минорами блочной матрицы (A\mid B) .

Теоремы о базисном миноре и о ранге матрицы

Рассмотрим основные теоремы, выражающие свойства линейной зависимости и линейной независимости столбцов (строк) матрицы.

Теорема 3.1 о базисном миноре. В произвольной матрице A каждый столбец {строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

Действительно, без ограничения общности предполагаем, что в матрице A размеров m\times n базисный минор расположен в первых r строках и первых r столбцах. Рассмотрим определитель

D=\begin{vmatrix}~ a_{11}&\cdots&a_{1r}\!\!&\vline\!\!&a_{1k}~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\vline\!\!&\vdots~\\ ~a_{r1}&\cdots&a_{rr}\!\!&\vline\!\!&a_{rk}~\\\hline ~a_{s1}&\cdots&a_{sr}\!\!&\vline\!\!&a_{sk}~\end{vmatrix},

который получен приписыванием к базисному минору матрицы A соответствующих элементов s-й строки и k-го столбца. Отметим, что при любых 1\leqslant s\leqslant m и этот определитель равен нулю. Если s\leqslant r или k\leqslant r , то определитель D содержит две одинаковых строки или два одинаковых столбца. Если же s>r и k>r , то определитель D равен нулю, так как является минором (r+l)-ro порядка. Раскладывая определитель по последней строке, получаем

a_{s1}\cdot D_{r+11}+\ldots+ a_{sr}\cdot D_{r+1r}+a_{sk}\cdot D_{r+1\,r+1}=0,

где D_{r+1\,j} - алгебраические дополнения элементов последней строки. Заметим, что D_{r+1\,r+1}\ne0 , так как это базисный минор. Поэтому

a_{sk}=\lambda_1\cdot a_{s1}+\ldots+\lambda_r\cdot a_{sr} , где \lambda_j=-\frac{D_{r+1\,j}}{D_{r+1\,r+1}},~j=1,2,\ldots,r.

Записывая последнее равенство для s=1,2,\ldots,m , получаем

\begin{pmatrix}a_{1k}\\\vdots\\a_{mk}\end{pmatrix}= \lambda_1\cdot\! \begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots\\a_{m1}\end{pmatrix}+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin{pmatrix}a_{1r}\\\vdots\\a_{mr}\end{pmatrix}\!.

т.е. k -й столбец (при любом 1\leqslant k\leqslant n ) есть линейная комбинация столбцов базисного минора, что и требовалось доказать.

Теорема о базисном миноре служит для доказательства следующих важных теорем.

Условие равенства нулю определителя

Теорема 3.2 (необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя). Для того чтобы определитель был равен нулю необходимо и достаточно, чтобы один из его столбцов {одна из его строк) был линейной комбинацией остальных столбцов (строк).

В самом деле, необходимость следует из теоремы о базисном миноре. Если определитель квадратной матрицы n-го порядка равен нулю, то ее ранг меньше n , т.е. хотя бы один столбец не входит в базисный минор. Тогда этот выбранный столбец по теореме 3.1 является линейной комбинацией столбцов, в которых расположен базисный минор. Добавляя, при необходимости, к этой комбинации другие столбцы с нулевыми коэффициентами, получаем, что выбранный столбец есть линейная комбинация остальных столбцов матрицы. Достаточность следует из свойств определителя. Если, например, последний столбец A_n определителя \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) линейно выражается через остальные

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_{n-1}\cdot A_{n-1},

то прибавляя к A_n столбец A_1 , умноженный на (-\lambda_1) , затем столбец A_2 , умноженный на (-\lambda_2) , и т.д. столбец A_{n-1} , умноженный на (-\lambda_{n-1}) , получим определитель \det(A_1~\cdots~A_{n-1}~o) с нулевым столбцом, который равен нулю (свойство 2 определителя).

Инвариантность ранга матрицы при элементарных преобразованиях

Теорема 3.3 (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях). При элементарных преобразованиях столбцов (строк) матрицы ее ранг не меняется.

Действительно, пусть . Предположим, что в результате одного элементарного преобразования столбцов матрицы A получили матрицу A" . Если было выполнено преобразование I типа (перестановка двух столбцов), то любой минор (r+l)-ro порядка матрицы A" либо равен соответствующему минору (r+l)-ro порядка матрицы A , либо отличается от него знаком (свойство 3 определителя). Если было выполнено преобразование II типа (умножение столбца на число \lambda\ne0 ), то любой минор (г+l)-ro порядка матрицы A" либо равен соответствующему минору (r+l)-ro порядка матрицы A , либо отличается от него множителем \lambda\ne0 (свойство 6 определителя). Если было выполнено преобразование III типа (прибавление к одному столбцу другого столбца, умноженного на число \Lambda ), то любой минор (г+1)-го порядка матрицы A" либо равен соответствующему минору (г+1) -го порядка матрицы A (свойство 9 определителя), либо равен сумме двух миноров (r+l)-ro порядка матрицы A (свойство 8 определителя). Поэтому при элементарном преобразовании любого типа все миноры (r+l)-ro порядка матрицы A" равны нулю, так как равны нулю все миноры (г+l)-ro порядка матрицы A . Таким образом, доказано, что при элементарных преобразованиях столбцов ранг матрицы не может увеличиться. Так как преобразования, обратные к элементарным, являются элементарными, то ранг матрицы при элементарных преобразованиях столбцов не может и уменьшиться, т.е. не изменяется. Аналогично доказывается, что ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях строк.

Следствие 1. Если одна строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией других ее строк (столбцов), то эту строку (столбец) можно вычеркнуть из матрицы, не изменив при этом ее ранга.

Действительно, такую строку при помощи элементарных преобразований можно сделать нулевой, а нулевая строка не может входить в базисный минор.

Следствие 2. Если матрица приведена к простейшему виду (1.7), то

\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}\Lambda=r\,.

Действительно, матрица простейшего вида (1.7) имеет базисный минор r-го порядка.

Следствие 3. Любая невырожденная квадратная матрица является элементарной, другими словами, любая невырожденная квадратная матрица эквивалентна единичной матрице того же порядка.

Действительно, если A - невырожденная квадратная матрица n-го порядка, то \operatorname{rg}A=n (см. п.З замечаний 3.2). Поэтому, приводя элементарными преобразованиями матрицу A к простейшему виду (1.7), получим единичную матрицу \Lambda=E_n , так как \operatorname{rg}A=\operatorname{rg}\Lambda=n (см. следствие 2). Следовательно, матрица A эквивалентна единичной матрице E_n и может быть получена из нее в результате конечного числа элементарных преобразований. Это означает, что матрица A элементарная.

Теорема 3.4 (о ранге матрицы). Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк этой матрицы.

В самом деле, пусть \operatorname{rg}A=r . Тогда в матрице A имеется r линейно независимых строк. Это строки, в которых расположен базисный минор. Если бы они были линейно зависимы, то этот минор был бы равен нулю по теореме 3.2, а ранг матрицы A не равнялся бы r . Покажем, что r - максимальное число линейно независимых строк, т.е. любые p строк линейно зависимы при p>r . Действительно, образуем из этих p строк матрицу B . Поскольку матрица B - это часть матрицы A , то \operatorname{rg}B\leqslant \operatorname{rg}A=r

Значит, хотя бы одна строка матрицы B не входит в базисный минор этой матрицы. Тогда по теореме о базисном миноре она равна линейной комбинации строк, в которых расположен базисный минор. Следовательно, строки матрицы B линейно зависимы. Таким образом, в матрице A не более, чем r линейно независимых строк.

Следствие 1. Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов:

\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^T.

Это утверждение вытекает из теоремы 3.4, если ее применить к строкам транспонированной матрицы и учесть, что при транспонировании миноры не изменяются (свойство 1 определителя).

Следствие 2. При элементарных преобразованиях строк матрицы линейная зависимость (или линейная независимость) любой системы столбцов этой матрицы сохраняется.

В самом деле, выберем любые k столбцов данной матрицы A и составим из них матрицу B . Пусть в результате элементарных преобразований строк матрицы A была получена матрица A" , а в результате тех же преобразований строк матрицы B была получена матрица B" . По теореме 3.3 \operatorname{rg}B"=\operatorname{rg}B . Следовательно, если столбцы матрицы B были линейно независимы, т.е. k=\operatorname{rg}B (см. следствие 1), то и столбцы матрицы B" также линейно независимы, так как k=\operatorname{rg}B" . Если столбцы матрицы B были линейно зависимы (k>\operatorname{rg}B) , то и столбцы матрицы B" также линейно зависимы (k>\operatorname{rg}B") . Следовательно, для любых столбцов матрицы A линейная зависимость или линейная независимость сохраняется при элементарных преобразованиях строк.

Замечания 3.3

1. В силу следствия 1 теоремы 3.4 свойство столбцов, указанное в следствии 2, справедливо и для любой системы строк матрицы, если элементарные преобразования выполняются только над ее столбцами.

2. Следствие 3 теоремы 3.3 можно уточнить следующим образом: любую невырожденную квадратную матрицу, используя элементарные преобразования только ее строк (либо только ее столбцов), можно привести к единичной матрице того же порядка.

В самом деле, используя только элементарные преобразования строк, любую матрицу A можно привести к упрощенному виду \Lambda (рис. 1.5) (см. теорему 1.1). Поскольку матрица A невырожденная (\det{A}\ne0) , то ее столбцы линейно независимы. Значит, столбцы матрицы \Lambda также линейно независимы (следствие 2 теоремы 3.4). Поэтому упрощенный вид \Lambda невырожденной матрицы A совпадает с ее простейшим видом (рис. 1.6) и представляет собой единичную матрицу \Lambda=E (см. следствие 3 теоремы 3.3). Таким образом, преобразовывая только строки невырожденной матрицы, ее можно привести к единичной. Аналогичные рассуждения справедливы и для элементарных преобразований столбцов невырожденной матрицы.

Ранге произведения и суммы матриц

Теорема 3.5 (о ранге произведения матриц). Ранг произведения матриц не превышает ранга множителей:

\operatorname{rg}(A\cdot B)\leqslant \min\{\operatorname{rg}A,\operatorname{rg}B\}.

В самом деле, пусть матрицы A и B имеют размеры m\times p и p\times n . Припишем к матрице A матрицу C=AB\colon\,(A\mid C) . Разумеется, что \operatorname{rg}C\leqslant\operatorname{rg}(A\mid C) , так как C - это часть матрицы (A\mid C) (см. п.5 замечаний 3.2). Заметим, что каждый столбец C_j , согласно операции умножения матриц, является линейной комбинацией столбцов A_1,A_2,\ldots,A_p матрицы A=(A_1~\cdots~A_p):

C_{j}=A_1\cdot b_{1j}+A_2\cdot b_{2j}+\ldots+A_{p}\cdot b_pj},\quad j=1,2,\ldots,n.

Такой столбец можно вычеркнуть из матрицы (A\mid C) , при этом ее ранг не изменится (следствие 1 теоремы 3.3). Вычеркивая все столбцы матрицы C , получаем: \operatorname{rg}(A\mid C)=\operatorname{rg}A . Отсюда, \operatorname{rg}C\leqslant\operatorname{rg}(A\mid C)=\operatorname{rg}A . Аналогично можно доказать, что одновременно выполняется условие \operatorname{rg}C\leqslant\operatorname{rg}B , и сделать вывод о справедливости теоремы.

Следствие. Если A невырожденная квадратная матрица, то \operatorname{rg}(AB)= \operatorname{rg}B и \operatorname{rg}(CA)=\operatorname{rg}C , т.е. ранг матрицы не изменяется приумножении ее слева или справа на невырожденную квадратную матрицу.

Теорема 3.6 о ранге суммы матриц. Ранг суммы матриц не превышает суммы рангов слагаемых:

\operatorname{rg}(A+B)\leqslant \operatorname{rg}A+\operatorname{rg}B.

Действительно, составим матрицу (A+B\mid A\mid B) . Заметим, что каждый столбец матрицы A+B есть линейная комбинация столбцов матриц A и B . Поэтому \operatorname{rg}(A+B\mid A\mid B)= \operatorname{rg}(A\mid B) . Учитывая, что количество линейно независимых столбцов в матрице (A\mid B) не превосходит \operatorname{rg}A+\operatorname{rg}B , a \operatorname{rg}(A+B)\leqslant \operatorname{rg}(A+B\mid A\mid B) (см. п.5 замечаний 3.2), получаем доказываемое неравенство.

>>Ранг матрицы

Ранг матрицы

Определение ранга матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу. Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r , то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r , но всякий минор порядка, большего чем r , равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A). Очевидно, что выполняется соотношение

Вычисление ранга матрицы с помощью миноров

Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k .

Пример 1. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы

Решение. Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) М 1 = 1, расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор M 2 = , отличный от нуля. Переходим теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим М 2 . Их всего два (можно добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их: = 0. Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А равен двум.

Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

1) перестановка двух любых строк (или столбцов),

2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

Пример 2 Найти ранг матрицы

А=

и привести ее к каноническому виду.

Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:

Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:

;

из третьей строки вычтем первую; получим матрицу

В = ,

В данной теме нам понадобятся такие понятия как минор матрицы и окаймляющий минор . В теме "Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений" есть подробное пояснение этих понятий.

$$ \left|\begin{array}{cc} -1 & 2 \\ -3 & 0 \end{array} \right|=-1\cdot 0-2\cdot (-3)=6. $$

Итак, существует минор второго порядка, не равный нулю, из чего следует, что $\rang A≥ 2$. Рассмотрим миноры третьего порядка, окаймляющие данный минор второго порядка. Как составить окаймляющий минор? Для этого к набору строк и столбцов, на пересечении которых лежат элементы минора второго порядка, нужно добавить ещё одну строку и ещё один столбец. Вспоминаем, что элементы записанного нами минора второго порядка расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2. Добавим к строкам ещё строку №3, а к столбцам - столбец №3. Мы получим минор третьего порядка, элементы которого (они показаны на рисунке синим цветом) лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №1, №2, №3.

Найдём значение этого минора, используя формулу №2 из темы про :

$$ \left|\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 1 \\ -3 & 0 & 5 \\ -5 & 4 & 7 \end{array} \right|=0. $$

Окаймляющий минор равен нулю. О чём это говорит? Это говорит о том, что нам нужно продолжить нахождение окаймляющих миноров. Либо они все равны нулю (и тогда ранг будет равен 2), либо среди них найдётся хотя бы один, отличный от нуля.

Элементы второго окаймляющего минора лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №1, №2, №4. На рисунке выше элементы этого минора показаны зелёным цветом. Вычислим данный минор, используя всё ту же формулу №2 из темы про вычисление определителей второго и третьего порядков :

$$ \left|\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 3 \\ -3 & 0 & 4 \\ -5 & 4 & 10 \end{array} \right|=0. $$

И этот окаймляющий минор равен нулю. Иных окаймляющих миноров нет. Следовательно, все окаймляющие миноры равны нулю. Порядок последнего составленного ненулевого минора равен 2. Вывод: ранг равен 2, т.е. $\rang A=2$.

Ответ : $\rang A=2$.

Пример №2

Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 0 & 4 & 5\\ 3 & 6 & -2 & -1 & -3\\ -2 & -4 & 2 & 5 & 7\\ -1 & -2 & 2 & 9 & 11 \end{array} \right)$ методом окаймляющих миноров.

Вновь, как и в предыдущем примере, начнём решение с выбора минора второго порядка, не равного нулю. Например, на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2 расположены элементы минора $\left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{array} \right|$, который несложно вычислить, используя формулу №1 из темы про вычисление определителей второго и третьего порядков :

$$ \left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{array} \right|=1\cdot 6-2\cdot 3=0. $$

Данный минор второго порядка равен нулю, т.е. выбор неудачен. Возьмём иной минор второго порядка. Например, тот, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №2, №3:

$$ \left|\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 6 & -2 \end{array} \right|=-4. $$

Итак, ненулевой минор второго порядка существует, поэтому $\rang A≥ 2$. Обозначим этот минор как $M_2$ и станем окаймлять его минорами третьего порядка. Например, добавим к строкам и столбцам, на которых расположены элементы $M_2$, ещё строку №3 и столбец №1. Т.е. найдём минор третьего порядка, элементы которого находятся на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №1, №2, №3. Используем для этого формулу №2 из темы про вычисление определителей второго и третьего порядков . Подробные вычисления я приводить не стану, запишем лишь ответ:

$$ \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 6 & -2 \\ -2 & -4 & 2 \end{array} \right|=0. $$

Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №2, №3, №4. Этот минор тоже окаймляет $M_2$:

$$ \left|\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 4 \\ 6 & -2 & -1 \\ -4 & 2 & 5 \end{array} \right|=0. $$

И вновь минор третьего порядка, окаймляющий $M_2$, равен нулю. Значит, переходим к иному минору третьего порядка. Возьмём минор третьего порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №2, №3, №5. Этот минор тоже окаймляет $M_2$:

$$ \left|\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 5 \\ 6 & -2 & -3 \\ -4 & 2 & 7 \end{array} \right|=4. $$

Итак, среди миноров третьего порядка, окаймляющих $M_2$, есть минор, не равный нулю, откуда следует $\rang A≥ 3$. Обозначим этот ненулевой минор как $M_3$. Элементы минора $M_3$ лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №2, №3, №5. Станем окаймлять минор $M_3$ минорами четвёртого порядка. Для начала возьмём минор четвёртого порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3, №4 и столбцов №1, №2, №3, №5. Этот минор окаймляет $M_3$. Его значение найти несложно, если использовать, например, разложение по строке или по столбцу :

$$ \left|\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 5\\ 3 & 6 & -2 & -3\\ -2 & -4 & 2 & 7\\ -1 & -2 & 2 & 11 \end{array} \right|=0. $$

Аналогично, рассматривая минор четвёртого порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №3, №4 и столбцов №2, №3, №4, №5, получим:

$$ \left|\begin{array}{cccc} 2 & 0 & 4 & 5\\ 6 & -2 & -1 & -3\\ -4 & 2 & 5 & 7\\ -2 & 2 & 9 & 11 \end{array} \right|=0.$$

Иных окаймляющих миноров для минора $M_3$ нет. Все миноры четвёртого порядка, окаймляющие $M_3$, равны нулю. Последний ненулевой минор, т.е. $M_3$, был третьего порядка. Вывод: ранг равен 3, т.е. $\rang A=3$.

Ответ : $\rang A=3$.

Пример №3

Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccccc} -1 & 3 & 2 & 4 & 1\\ 0 & -2 & 5 & 0 & -3\\ 1 & -5 & 3 & 7 & 6 \end{array} \right)$ методом окаймляющих миноров.

Снова начинаем решение с выбора минора второго порядка, не равного нулю. Например, на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2 расположены элементы минора $\left|\begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{array} \right|$, который вычисляем, используя формулу №1 из темы про вычисление определителей второго и третьего порядков :

$$ \left|\begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{array} \right|=2. $$

Данный минор (обозначим его $M_2$) не равен нулю, посему именно его мы и станем окаймлять минорами третьего порядка. Например, добавим к строкам и столбцам, на которых расположены элементы $M_2$, ещё строку №3 и столбец №3. Т.е. найдём минор третьего порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №1, №2, №3. Используем для этого формулу №2 из темы про вычисление определителей второго и третьего порядков :

$$ \left|\begin{array}{ccc} -1 & 3 & 2 \\ 0 & -2 & 5 \\ 1 & -5 & 3 \end{array} \right|=0. $$

Этот минор равен нулю, значит нужно переходить к иному окаймляющему минору. Либо все миноры третьего порядка, окаймляющие $M_2$, равны нулю, либо среди них всё-таки найдётся хоть один, отличный от нуля.

Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №1, №2, №4. Этот минор тоже окаймляет $M_2$:

$$ \left|\begin{array}{ccc} -1 & 3 & 4 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & -5 & 7 \end{array} \right|=22. $$

Итак, среди миноров третьего порядка, окаймляющих $M_2$, есть хоть один, не равный нулю. Миноры четвёртого порядка мы образовать уже не можем, так как для них потребуется 4 строки, а в матрице $A$ всего 3 строки. Посему, так как последний ненулевой минор был третьего порядка, то ранг равен 3, т.е. $\rang A=3$.

Ответ : $\rang A=3$.