Параллелепипед в основании которого квадрат. Прямоугольный параллелепипед

Цели урока:

1. Образовательные:

Ввести понятие параллелепипеда и его видов;
- сформулировать (используя аналогию с параллелограммом и прямоугольником) и доказать свойства параллелепипеда и прямоугольного параллелепипеда;
- повторить вопросы, связанные с параллельностью и перпендикулярностью в пространстве.

2. Развивающие:

Продолжить развитие у учащихся таких познавательных процессов, как восприятие, осмысление, мышление, внимание, память;
- способствовать развитию у учащихся элементов творческой деятельности как качеств мышления (интуиция, пространственное мышление);
- формировать у учащихся умение делать выводы, в том числе – по аналогии, что помогает осознать внутрипредметные связи в геометрии.

3. Воспитательные:

Способствовать воспитанию организованности, привычки к систематическому труду;
- способствовать формированию эстетических навыков при оформлении записей, выполнения чертежей.

Тип урока: урок-изучение нового материала (2 часа).

Структура урока:

1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний.
3. Изучение нового материала.
4. Подведение итогов и постановка домашнего задания.

Оборудование: плакаты (слайды) с доказательствами, модели различных геометрических тел, в том числе – все виды параллелепипедов, графопроектор.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

Сообщение темы урока, формулировка вместе с учащимися цели и задач, показ практической значимости изучения темы, повторение ранее изученных вопросов, связанных с данной темой.

3. Изучение нового материала.

3.1. Параллелепипед и его виды.

Демонстрируются модели параллелепипедов с выявлением их особенностей, помогающих сформулировать определение параллелепипеда, используя понятие призмы.

Определение:

Параллелепипедом называется призма, основанием которой является параллелограмм.

Выполняется чертёж параллелепипеда (рисунок 1), перечисляются элементы параллелепипеда как частного случая призмы. Демонстрируется слайд 1.

Схематическая запись определения:

Формулируются выводы из определения:

1) Если ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – призма и ABCD – параллелограмм, то ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед .

2) Если ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – параллелепипед , то ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – призма и ABCD – параллелограмм.

3) Если ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – не призма или ABCD – не параллелограмм, то
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – не параллелепипед .

4) . Если ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – не параллелепипед , то ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – не призма или ABCD – не параллелограмм.

Далее рассматриваются частные случаи параллелепипеда с построением схемы классификации (см. рис.3), демонстрируются модели и выделяются характеристические свойства прямого и прямоугольного параллелепипедов, формулируются их определения.

Определение:

Параллелепипед называется прямым, если его боковые рёбра перпендикулярны к основанию.

Определение:

Параллелепипед называется прямоугольным , если его боковые рёбра перпендикулярны к основанию, а основанием является прямоугольник (см. рисунок 2).

После записи определений в схематичном виде формулируются выводы из них.

3.2. Свойства параллелепипедов.

Поиск планиметрических фигур, пространственными аналогами которых являются параллелепипед и прямоугольный параллелепипед (параллелограмм и прямоугольник). В данном случае имеем дело с визуальным сходством фигур. Используя правило вывода по аналогии, заполняются таблицы.

Правило вывода по аналогии:

1. Выбрать среди ранее изученных фигур фигуру, аналогичную данной.
2. Сформулировать свойство выбранной фигуры.
3. Сформулировать аналогичное свойство исходной фигуры.
4. Доказать или опровергнуть сформулированное утверждение.

После формулировки свойств проводится доказательство каждого из них по следующей схеме:

обсуждение плана доказательства;
демонстрация слайда с доказательством (слайды 2 – 6);
оформление учащимися доказательства в тетрадях.

3.3 Куб и его свойства.

Определение: Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны.

По аналогии с параллелепипедом учащиеся самостоятельно делают схематическую запись определения, выводят следствия из него и формулируют свойства куба.

4. Подведение итогов и постановка домашнего задания.

Домашнее задание:

Используя конспект урока, по учебнику геометрии для 10-11 классов, Л.С. Атанасян и др., изучить гл.1, §4, п.13, гл.2, §3, п.24.
Доказать или опровергнуть свойство параллелепипеда, п.2 таблицы.
Ответить на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы.

1. Известно, что только две боковые грани параллелепипеда перпендикулярны основанию. Какого вида параллелепипед?

2. Сколько боковых граней прямоугольной формы может иметь параллелепипед?

3. Возможен ли параллелепипед, у которого только одна боковая грань:

1) перпендикулярна основанию;
2) имеет форму прямоугольника.

4. В прямом параллелепипеде все диагонали равны. Является ли он прямоугольным?

5. Верно ли, что в прямом параллелепипеде диагональные сечения перпендикулярны плоскостям основания?

6. Сформулируйте теорему, обратную теореме о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда.

7. Какие дополнительные признаки отличают куб от прямоугольного параллелепипеда?

8. Будет ли кубом параллелепипед, в котором равны все рёбра при одной из вершин?

9. Сформулируйте теорему о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда для случая куба.

В геометрии ключевыми понятиями являются плоскость, точка, прямая и угол. Используя эти термины, можно описать любую геометрическую фигуру. Многогранники обычно описывают через более простые фигуры, которые лежат в одной плоскости, такие как круг, треугольник, квадрат, прямоугольник и т.д. В данной статье мы рассмотрим, что такое параллелепипед, опишем типы параллелепипедов, его свойства, из каких элементов он состоит, а также дадим основные формулы для вычисления площади и объема для каждой разновидности параллелепипеда.

Определение

Параллелепипед в трехмерном пространстве - это призма, все стороны которой являются параллелограммами. Соответственно, она может иметь только три пары параллельных параллелограммов или шесть граней.

Чтобы визуализировать параллелепипед, представьте себе обычный стандартный кирпич. Кирпич - хороший пример прямоугольного параллелепипеда, который может представить себе даже ребенок. Другими примерами могут послужить многоэтажные панельные дома, шкафы, контейнеры для хранения пищевых продуктов соответствующей формы и т.д.

Разновидности фигуры

Существует всего две разновидности параллелепипедов:

Прямоугольные, все боковые грани которых находятся под углом 90 о к основанию и являются прямоугольниками.
Наклонные, боковые грани которых расположены под определенным углом к основанию.

На какие элементы можно разделить эту фигуру?

Как и в любой другой геометрической фигуре, в параллелепипеде любые 2 грани с общим ребром зовутся смежными, а те, что его не имеют, являются параллельными (исходя из свойства параллелограмма, имеющего попарно параллельные противоположные стороны).
Вершины параллелепипеда, не лежащие на одной грани, зовутся противоположными.
Отрезок, соединяющий такие вершины, является диагональю.
Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, соединяющихся в одной вершине, являются его измерениями (а именно, его длиной, шириной и высотой).

Свойства фигуры

Он всегда построен симметрично по отношению к середине диагонали.
Точка пересечения всех диагоналей делит каждую диагональ на два равных отрезка.
Противолежащие грани равные по длине и лежат на параллельных прямых.
Если сложить квадраты всех измерений параллелепипеда, полученное значение будет равно квадрату длины диагонали.

Расчетные формулы

Формулы для каждого частного случая параллелепипеда будут свои.

Для произвольного параллелепипеда верно утверждение, что его объем равен абсолютной величине тройного скалярного произведения векторов трех сторон, исходящих из одной вершины. Однако формулы для вычисления объема произвольного параллелепипеда не существует.

Для прямоугольного параллелепипеда действуют следующие формулы:

V=a*b*c;
Sб=2*c*(a+b);
Sп=2*(a*b+b*c+a*c).

V - объем фигуры;
Sб - площадь боковой поверхности;
Sп - площадь полной поверхности;
a - длина;
b - ширина;
c - высота.

Еще одним частным случаем параллелепипеда, в котором все стороны - квадраты, является куб. Если любую из сторон квадрата обозначить буквой a, то для площади поверхности и объема данной фигуры можно будет использовать следующие формулы:

S=6*a*2;
V=3*а.

S - площадь фигуры,
V - объем фигуры,
a - длина грани фигуры.

Последняя рассматриваемая нами разновидность параллелепипеда - прямой параллелепипед. В чем разница между прямым параллелепипедом и прямоугольным параллелепипедом, спросите вы. Дело в том, что основанием прямоугольного параллелепипеда может быть любой параллелограмм, а основанием прямого - только прямоугольник. Если обозначить периметр основания, равный сумме длин всех сторон, как Po, а высоту обозначить буквой h, мы имеем право воспользоваться следующими формулами для вычисления объема и площадей полной и боковой поверхностей.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Параллелепипед – это геометрическая фигура, все 6 граней которой представляют собой параллелограммы.

В зависимости от вида этих параллелограммов различают следующие виды параллелепипеда:

прямой;
наклонный;
прямоугольный.

Прямым параллелепипедом называют четырехугольную призму, ребра которой составляют с плоскостью основания угол 90 °.

Прямоугольным параллелепипедом называют четырехугольную призму, все грани которой являются прямоугольниками. Куб есть разновидность четырехугольной призмы, у которой все грани и ребра равны между собой.

Особенности фигуры предопределяют ее свойства. К ним относят 4 следующих утверждений:

Запомнить все приведенные свойства просто, они легки для понимания и выводятся логически исходя из вида и особенностей геометрического тела. Однако, незамысловатые утверждения могут быть невероятно полезны при решении типовых заданий ЕГЭ и позволят сэкономить время необходимое для прохождения теста.

Формулы параллелепипеда

Для поиска ответов на поставленную задачу недостаточно знать только свойства фигуры. Также могут понадобиться и некоторые формулы для нахождения площади и объема геометрического тела.

Площадь оснований находится также как и соответствующий показатель параллелограмма или прямоугольника. Выбирать основание параллелограмма можно самостоятельно. Как правило, при решении задач проще работать с призмой, в основании которой лежит прямоугольник.

Формула нахождения боковой поверхности параллелепипеда, также может понадобиться в тестовых заданиях.

Примеры решения типовых заданий ЕГЭ

Задание 1.

Дано : прямоугольный параллелепипед с измерениями 3, 4 и 12 см.
Необходимо найти длину одной из главных диагоналей фигуры.
Решение : Любое решение геометрической задачи должно начинаться с построения правильного и четкого чертежа, на котором будет обозначено «дано» и искомая величина. На рисунке ниже приведен пример правильного оформления условий задания.

Рассмотрев сделанный рисунок и вспомнив все свойства геометрического тела, приходим к единственно верному способу решения. Применив 4 свойство параллелепипеда, получим следующее выражение:

После несложных вычислений получим выражение b2=169, следовательно, b=13. Ответ задания найден, на его поиск и чертеж необходимо потратить не более 5 минут.