Концентрические заряженные сферы. Поле точечного заряда и заряженного шара. Принцип суперпозиции полей

КОНЦЕНТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯЖЕННЫЕ СФЕРЫ

Читатель :Внутри сплошного проводника есть полость произвольной формы (рис. 12.1). Проводнику сообщили некоторый заряд Q. Как распределится заряд по проводнику?

Предположим, что некоторый заряд q находится на внутренней поверхности проводника. Рассмотрим мысленно замкнутую поверхность S , внутри которой окажется заряд q (рис. 12.2). Тогда поток вектора напряженности через эту поверхность будет равен

.

Но поскольку в любой точке нашей поверхности, то Ф = 0, а тогда и q = 0. Значит, на внутренней поверхности полости заряда нет, и остается единственная возможность: весь заряд находится на наружной поверхности проводника.

Читатель : Раз мы доказали, что заряда на внутренней поверхности полости нет, то и никакого поля внутри полости быть не может.

Автор : Не обязательно. Например, две плоские пластины с зарядами +q и –q в сумме имеют нулевой заряд, но между ними существует электрическое поле (рис. 12.3). Поэтому если на внутренней поверхности полости есть положительные и отрицательные заряды (пусть при этом q + + q – = 0!), то электрическое поле внутри полости вполне может существовать.

Читатель : Действительно.

Предположим, что на поверхности полости есть заряды +q и –q и между ними существует электрическое поле (рис. 12.4). Возьмем замкнутую линию L , такую, что внутри полости эта линия совпадает с силовой линией электрического поля, а остальная часть линии проходит через проводник.

Мысленно переместим заряд +q вдоль этой линии по замкнутому контуру. Тогда работа поля на участке внутри полости будет явно положительная, так как сила там будет в любом месте сонаправлена с перемещением (мы выбрали именно такую траекторию движения заряда). А на том участке, где линия проходит через проводник, работа равна нулю, так как внутри проводника .

Таким образом, общая работа по перемещению заряда вдоль нашего замкнутого контура, совершенная силами электростатического поля, положительна ! Но мы знаем, что на самом деле эта работа должна равняться нулю: иначе у нас получился бы вечный двигатель. Мы пришли к противоречию, значит, внутри полости поля нет!

Заметим, что из наших рассуждений следует важный практический вывод: внутри металлического ящика электрического поля быть не может, а значит, в металлическом ящике можно спрятаться от сильных внешних полей!

СТОП! Решите самостоятельно: А4–А7, В13.

Читатель : Так как заряд на внутренней поверхности сферы отсутствует, то шар зарядиться не может.

Читатель : . Если r ® ¥, то j = 0.

Читатель : Потенциалу на поверхности: , где R – радиус сферы, а Q – ее заряд.

Читатель : Вы хотите сказать, что шар зарядится? Но откуда же возьмутся заряды, если на внутренней поверхности сферы их нет?!

Читатель : Мы уже выяснили, что на внутренней поверхности полости проводника никаких зарядов быть не может. Наш шар вместе с проволочкой, соединяющей его со сферой, представляет собой как бы часть внутренней поверхности полости сферы. А значит, заряд с шарика должен целиком перейти на наружную поверхность сферы, независимо от того, заряжена она или нет!

СТОП! Решите самостоятельно: А9.

Задача 12.1 . Внутри незаряженной металлической сферы с внешним радиусом R находится точечный заряд q . Как распределится индуцированный заряд по внешней и внутренней поверхности сферы? Рассмотреть случаи, когда: а) заряд находится в центре сферы (рис. 12.8,а ); б) заряд смещен от центра (рис. 12.8,б ).

Решение .

Случай а . Прежде всего заметим, что сейчас на внутренней поверхности сферы должен появиться заряд, индуцированный (наведенный) точечным зарядом q , так как заряд q притягивает к себе заряды противоположного знака, а по металлу заряды могут перемещаться свободно.

Обозначим величину заряда на внутренней поверхности сферы х , а на внешней – у . Рассмотрим поверхность S , целиком лежащую в металле (рис. 12.9). Согласно теореме Гаусса поток через эту поверхность будет равен

,

так как в металле. Тогда . Поскольку в целом сфера не заряжена, то

х + у = 0 Þ у = –х = –(–q ) = +q .

Итак, x = –q ; у = +q . Ясно, что из соображения симметрии и по внешней, и по внутренней поверхностям заряд распределен равномерно.

Случай б . Если заряд будет смещен от центра, то величина индуцированных зарядов х и у от этого не изменится. Но очевидно, что чем ближе заряд q будет к внутренней поверхности сферы, тем сильнее он будет притягивать к себе свободные заряды, а значит, тем выше будет их поверхностная плотность . То есть заряд на внутренней поверхности сферы будет распределен неравномерно (рис. 12.10).

Читатель : Наверное, примерно такая же картина будет и на наружной поверхности сферы (рис. 12.11)?

Читатель : Честно говоря, не понятно.

Рис. 12.11 Рис. 12.12

Автор : А давайте предположим, что распределение зарядов на наружной поверхности действительно неравномерное, как на рис. 12.11. Тогда ясно, что поле, созданное этими зарядами, будет больше там, где больше плотность зарядов, и меньше там, где эта плотность меньше (рис. 12.13).

Возьмем контур ABCD и мысленно переместим по нему заряд +q . На участке АВ работа поля будет положительной, а на участке CD – отрицательной, причем так как Е В >Е С , то |A AB | > |A CD |.

На участках ВС и BD работа, очевидно, равна 0. Значит, общая работа на всем пути положительна! А этого быть не может. Следовательно, наше предположение о том, что заряд на наружной поверхности распределен неравномерно, ошибочно. То есть правильная картина распределения заряда показана на рис. 12.12.

СТОП! Решите самостоятельно: А8, В21, С5, С7, С15.

Задача 12.2. Два заряженных шара соединили длинным тонким проводником (рис. 12.14). Первый шар имеет заряд q и радиус r , второй – заряд Q и радиус R . Найти: 1) потенциалы шаров j 1 и j 2 до соединения и и после соединения; 2) заряды шаров и после соединения; 3) поверхностные плотности зарядов σ 1 и σ 2 до соединения и и после соединения; 4) энергию системы W до соединения и W ¢ после соединения; 5) количество выделившейся теплоты Q т.

Q , R , q , r	Рис. 12.14 Решение. До соединения : 1) ; ; 2) ; (площадь поверхности шара радиуса rS = 4πr 2); 3) W = W 1 + W 2 = (энергия сферы радиуса r и заряда q равна ).
j 1 , j 2 = ? , = ? , = ? σ 1 , σ 2 , = ? , = ? W , W ¢ = ? Q т = ?

После соединения потенциалы шаров стали равны, так как поверхность единого проводника всегда эквипотенциальная:

Общая сумма зарядов при этом не изменилась: q + Q = q ¢ + Q ¢. Мы получили систему с двумя неизвестными q ¢ и Q ¢:

Выразим из (1) Q ¢:

.

СТОП! Решите самостоятельно: В1, В2, В5, В7.

Вычислим поверхностные плотности зарядов после соединения:

;

.

Заметим, что если r ® 0, то , т.е. при уменьшении размеров маленького шарика плотность зарядов на нем будет неограниченно возрастать. Вот почему наибольшая плотность зарядов наблюдается на остриях металлических предметов.

СТОП! Решите самостоятельно: В9, В15.

Энергия шаров после соединения равна

Количество выделившегося тепла равно убыли энергии электрического поля:

.

Проведя несложные алгебраические преобразования, нетрудно получить

.

Читатель :Из этой формулы следует, что если qR ¹ Qr , то Q т > 0, если же qR = Qr , то Q т = 0. Почему?

СТОП! Решите самостоятельно: В23, С3.

Задача 12.3. Даны две концентрические металлические сферы радиусами R 1 и R 2 и зарядами q 1 и q 2 соответственно. Определить потенциалы: а) в центре сфер; б) на поверхности второй сферы; в) на расстоянии r > R 2 от центра.

Потенциал общего поля этих сфер является алгебраической суммой потенциалов каждого из полей, созданных сферами.

>>Физика: Силовые линии электрического поля. Напряженность поля заряженного шара

Электрическое поле не действует на органы чувств . Его мы не видим.
Однако мы можем получить некоторое представление о распределении поля, если нарисуем векторы напряженности поля в нескольких точках пространства (рис.14.9 , слева). Картина будет более наглядной, если нарисовать непрерывные линии, касательные к которым в каждой точке, через которую они проходят, совпадают по направлению с векторами напряженности. Эти линии называют силовыми линиями электрического поля или линиями напряженности (рис.14.9 , справа).

Направление силовых линий позволяет определить направление вектора напряженности в различных точках поля, а густота (число линий на единицу площади) силовых линий показывает, где напряженность поля больше. Так, на рисунках 14.10-14.13 густота силовых линий в точках А больше, чем в точках В . Очевидно, .
Не следует думать, что линии напряженности существуют в действительности вроде растянутых упругих нитей или шнуров, как предполагал сам Фарадей . Линии напряженности помогают лишь наглядно представить распределение поля в пространстве. Они не более реальны, чем меридианы и параллели на земном шаре.
Однако силовые линии можно сделать видимыми. Если продолговатые кристаллики изолятора (например, хинина) хорошо перемешать в вязкой жидкости (например, в касторовом масле) и поместить туда заряженные тела, то вблизи этих тел кристаллики выстроятся в цепочки вдоль линий напряженности.
На рисунках приведены примеры линий напряженности: положительно заряженного шарика (см. рис.14.10 ); двух разноименно заряженных шариков (см. рис.14.11 ); двух одноименно заряженных шариков (см. рис.14.12 ); двух пластин, заряды которых равны по модулю и противоположны по знаку (см. рис.14.13 ). Последний пример особенно На рисунке 14.13 видно, что в пространстве между пластинами ближе к середине силовые линии параллельны: электрическое поле здесь одинаково во всех точках.

Электрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках пространства, называется однородным . В ограниченной области пространства электрическое поле можно считать приближенно однородным, если напряженность поля внутри этой области меняется незначительно.
Однородное электрическое поле изображается параллельными линиями, расположенными на равных расстояниях друг от друга.
Силовые линии электрического поля не замкнуты, они начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных. Силовые линии непрерывны и не пересекаются, так как пересечение означало бы отсутствие определенного направления напряженности электрического поля в данной точке.
Поле заряженного шара. Рассмотрим теперь вопрос о электрическом поле заряженного проводящего шара радиусом R . Заряд q равномерно распределен по поверхности шара. Силовые линии электрического поля, как вытекает из соображений симметрии, направлены вдоль продолжений радиусов шара (рис.14.14, а ).

Обратите внимание! Силовые линии вне шара распределены в пространстве точно так же, как и силовые линии точечного заряда (рис.14.14, б ). Если совпадают картины силовых линий, то можно ожидать, что совпадают и напряженности полей. Поэтому на расстоянии r>R от центра шара напряженность поля определяется той же формулой (14.9), что и напряженность поля точечного заряда, помещенного в центре сферы:

) напряженность поля равна нулю . В этом мы скоро убедимся. На рисунке 14.14, в показана зависимость напряженности электрического поля заряженного проводящего шара от расстояния до его центра.
Картина силовых линий наглядно показывает, как направлена напряженность электрического поля в различных точках пространства. По изменению густоты линий можно судить об изменении модуля напряженности поля при переходе от точки к точке.

???
1. Что называют силовыми линиями электрического поля?
2. Во всех ли случаях траектория заряженной частицы совпадает с силовой линией?
3. Могут ли силовые линии пересекаться?
4. Чему равна напряженность поля заряженного проводящего шара?

Г.Я.Мякишев, Б.Б.Буховцев, Н.Н.Сотский, Физика 10 класс

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку,

Одной из самых трудных задач, которую пришлось нам решать, когда мы изучали теорию гравитационного притяжения, было доказать, что сила, создаваемая твердым шаром на его поверхности, такая же, как если бы все вещество шара было сконцентрировано в его центре. Много лет Ньютон не решался обнародовать свою теорию тяготения, так как не был уверен в правильности этой теоремы. Мы доказали ее в вып. 1, гл. 13, взяв интеграл для потенциала и вычислив силу тяготения по градиенту. Теперь эту теорему мы можем доказать очень просто. Но на этот раз мы докажем не совсем ее, а сходную теорему для однородно заряженного электричеством шара. (Поскольку законы электростатики и тяготения совпадают, то то же доказательство может быть проведено и для поля тяготения.)

Зададим вопрос: каково электрическое поле в точке где-то снаружи сферы, наполненной однородно распределенным зарядом? Так как здесь нет «выделенного» направления, то законно допустить, что всюду направлено прямо от центра сферы. Рассмотрим воображаемую сферическую поверхность, концентрическую со сферой зарядов и проходящую через точку (фиг. 4.11). Для этой сферы поток наружу равен

Фигура 4.11. Применение закона Гаусса для определения поля однородно заряженного шара.

1 - распределение заряда ; 2 - гауссова поверхность .

Закон Гаусса утверждает, что этот поток равен суммарному заряду сферы (деленному на ):

а это как раз та формула, которая получилась бы для точечного заряда . Мы решили проблему Ньютона проще, без интеграла. Конечно, это кажущаяся простота; вам пришлось затратить какое-то время на то, чтобы разобраться в законе Гаусса, и вы можете думать, что на самом деле время нисколько не сэкономлено. Но когда вам придется часто применять эту теорему, то она практически окупится. Все дело в привычке.

Теорема Гаусса.

Потоком вектора напряженности через замкнутый контур площадью S называется произведение проекции вектора напряженности на нормаль к контуру на площадь контура: .

Поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную: .

Напряженность поля точечного заряда.

Для определения напряженности проведем сферическую поверхность S радиусом r с центром совпадающим с зарядом и воспользуемся теоремой Гаусса. Так как внутри указанной области находится только один заряд q, то согласно указанной теореме получим равенство: (1), где E n - нормальная составляющая напряженности электрического поля. Из соображений симметрии нормальная составляющая должна быть равна самой напряженности и постоянна для всех точек сферической поверхности, поэтому E=E n =const. Поэтому ее можно вынести за знак суммы. Тогда равенство (1) примет вид , что и было получено из закона Кулона и определения напряженности электрического поля.

Электрическое поле заряженной сферы

Если сфера проводящая, то весь заряд находится на поверхности. Рассмотрим две области I – внутри сферы радиуса R с зарядом q и вне сферы область II.

. Т. к. площадь сферы не равна нулю, то Е 1 =0 (во всех точках области I) – внутри проводника зарядов нет и напряженность поля равна нулю.

В области II R£r 2 проведем сферическую поверхность S 2 радиусом r 2 и воспользуемся теоремой Гаусса:

(2), Þ - напряженность поля вне сферы рассчитывается по той же формуле, что и напряженность поля точечного заряда.

Электрическое поле заряженного шара

Заряд равномерно распределен по всему объему шара, поэтому введем понятие объемной плотности заряда: . Рассмотрим две области I – внутри сферы радиуса R с зарядом q и вне сферы область II.

Для определения напряженности в области I проведем сферическую поверхность S 1 радиусом r 1 (0 - напряженность поля внутри шара увеличивается прямо пропорционально расстоянию до центра шара.

В области II R £ r 2 проведем сферическую поверхность S 2 радиусом r 2 и воспользуемся теоремой Гаусса:

(2), Þ - напряженность поля вне шара рассчитывается по той же формуле, что и напряженность поля точечного заряда.

1. Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью.

Пусть сферическая поверхность радиуса R (рис. 13.7) несет на себе равномерно распределенный заряд q, т.е. поверхностная плотность заряда в любой точке сферы будет одинакова.

2. Электростатическое поле шара.

Пусть имеем шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью.

В любой точке А, лежащей вне шара на расстоянии r от его центра (r>R), его поле аналогично полю точечного заряда , расположенного в центре шара. Тогда вне шара

(13.10)

а на его поверхности (r=R)

(13.11)

В точке В, лежащей внутри шара на расстояний r от его центра (r>R), поле определяется лишь зарядом , заключенным внутри сферы радиусом r. Поток вектора напряженности через эту сферу равен

с другой стороны, в соответствии с теоремой Гаусса

Из сопоставления последних выражений следует

(13.12)

где- диэлектрическая проницаемость внутри шара. Зависимость напряженности поля, создаваемого заряженной сферой, от расстояния до центра шара приведена на (рис.13.10)

3. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити (или цилиндра).

Предположим, что полая цилиндрическая поверхность радиуса R заряжена с постоянной линейной плотностью .

Проведем коаксиальную цилиндрическую поверхность радиуса Поток вектора напряженности через эту поверхность

По теореме Гаусса

Из последних двух выражений определяем напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной нитью:

(13.13)

Пусть плоскость имеет бесконечную протяженность и заряд на единицу площади равен σ. Из законов симметрии следует, что поле направлено всюду перпендикулярно плоскости, и если не существует никаких других внешних зарядов, то поля по обе стороны плоскости должны быть одинаковы. Ограничим часть заряженной плоскости воображаемым цилиндрическим ящиком, таким образом, чтобы ящик рассекался пополам и его образующие были перпендикулярны, а два основания, имеющие площадь S каждое, параллельны заряженной плоскости (рис 1.10).

Суммарный поток вектора; напряженности равен вектору , умноженному на площадь S первого основания, плюс поток вектора через противоположное основание. Поток напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, т.к. линии напряженности их не пересекают. Таким образом, С другой стороны по теореме Гаусса

Следовательно

но тогда напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости будет равна