Квадрант системы координат. Введение системы координат

Определение положения точки в пространстве

Итак, положение какой-либо точки в пространстве может быть определено только по отношению к каким-либо другим точкам. Та точка, относительно которой рассматривается положение других точек, называется точкой отсчете . Мы так же применим и другое наименование точки отсчета – точка наблюдения . Обычно с точкой отсчета (или с точкой наблюдения) связывают какую-либо систему координат , которую и называют системой отсчета. В выбранной системе отсчета положение КАЖДОЙ точки определяется ТРЕМЯ координатами.

Правая декартова (или прямоугольная) система координат

Эта система координат представляет собой три взаимно перпендикулярных направленных прямых, называемых так же осями координат , пересекающихся в одной точке (начале координат). Точка начала координат обычно обозначается буквой О.

Оси координат носят названия:

1. Ось абсцисс – обозначается как OX;

2. Ось ординат – обозначается как OY;

3. Ось аппликат – обозначается как OZ

Теперь объясним, почему эта система координат называется правой. Давайте посмотрим на плоскость XOY с положительного направления оси OZ, например из точки А, как это показано на рисунке.

Предположим, что мы начинаем поворачивать ось OX вокруг точки О. Так вот – правая система координат имеет такое свойство, что, если смотреть на плоскость XOY из какой-либо точки положительной полуоси OZ (у нас – это точка А), то, при повороте оси OX на 90 против часовой стрелки, её положительное направление совпадет с положительным направлением оси OY.

Такое решение было принято в научном мире, нам же остается принимать это так, как оно есть.

Итак, после того, как мы определились с системой отсчета (в нашем случае – правой декартовой системой координат), положение любой точки описывается через значения её координат или другими словами – через величины проекций этой точки на оси координат.

Записывается это так: A(x, y, z), где x, y, z – и есть координаты точки А.

Прямоугольную систему координат можно представить себе, как линии пересечения трех взаимно перпендикулярных плоскостей.

Следует заметить, что ориентировать прямоугольную систему координат в пространстве можно как угодно, при этом надо выполнить только одно условие – начало координат должно совпадать с центром отсчета (или точкой наблюдения).

Сферическая система координат

Положение точки в пространстве можно описать и другим способом. Предположим, что мы выбрали область пространства, в котором располагается точка отсчета О (или точка наблюдения), и еще нам известно расстояние от точки отсчета до некоторой точки А. Соединим эти две точки прямой ОА. Эта прямая называется радиус-вектором и обозначается, как r . Все точки, имеющие одно и тоже значение радиус-вектора, лежат на сфере, центр которой находится в точке отсчета (или точке наблюдения), а радиус этой сферы равен, соответственно радиус-вектору.

Таким образом, нам становится очевидным, что знание величины радиус-вектора не дает нам однозначного ответа о положении интересующей нас точки. Нужны еще ДВЕ координаты, ведь для однозначного определения местоположения точки количество координат должно равняться ТРЕМ.

Далее мы поступим следующим образом – построим две взаимно перпендикулярные плоскости, которые, естественно, дадут линию пересечения, и эта линия будет бесконечной, потому как и сами плоскости ничем не ограничены. Зададим на этой линии точку и обозначим ее, ну например, как точка О1. А теперь совместим эту точку О1 с центром сферы – точкой О и посмотрим, что получается?

А получается очень интересная картина:

· Как одна, так и другая плоскости будут центральными плоскостями.

· Пересечение этих плоскостей с поверхностью сферы обозначат большие круги

· Один из этих кругов – произвольно, мы назовем ЭКВАТОРОМ , тогда другой круг будет называться ГЛАВНЫМ МЕРИДИАНОМ.

· Линия пересечения двух плоскостей однозначно определит направление ЛИНИИ ГЛАВНОГО МЕРИДИАНА.

Точки пересечения линии главного меридиана с поверхностью сферы обозначим, как М1 и М2

Через центр сферы точку О в плоскости главного меридиана проведем прямую, перпендикулярную линии главного меридиана. Эта прямая носит название ПОЛЯРНАЯ ОСЬ .

Полярная ось пересечет поверхность сферы в двух точках, которые называются ПОЛЮСАМИ СФЕРЫ. Обозначим эти точки, как Р1 и Р2.

Определение координат точки в пространстве

Теперь рассмотрим процесс определения координат точки в пространстве, а так же дадим наименования этим координатам. Для полноты картины, при определении положения точки, укажем основные направления, от которых производится отсчет координат, а так же положительное направление при отсчете.

1. Задаем положение в пространстве точки отсчета (или точки наблюдения). Обозначим эту точку буквой О.

2. Строим сферу, радиус которой равен длине радиус-вектора точки А. (Радиус-вектор точки А – это расстояние между точками О и А). Центр сферы располагается в точке отсчета О.

3. Задаем положение в пространстве плоскости ЭКВАТОРА, а соответственно плоскости ГЛАВНОГО МЕРИДИАНА. Следует напомнить, что эти плоскости взаимно перпендикулярны и являются центральными.

4. Пересечение этих плоскостей с поверхностью сферы определяет нам положение круга экватора, круга главного меридиана, а так же направление линии главного меридиана и полярной оси.

5. Определяем положение полюсов полярной оси и полюсов линии главного меридиана. (Полюса полярной оси – точки пересечение полярной оси с поверхностью сферы. Полюса линии главного меридиана – это точки пересечения линии главного меридиана с поверхностью сферы).

6. Через точку А и полярную ось строим плоскость, которую назовем плоскостью меридиана точки А. При пересечении этой плоскости с поверхностью сферы получится большой круг, который мы назовем МЕРИДИАНОМ точки А.

7. Меридиан точки А пересечет круг ЭКВАТОРА в некоторой точке, которую мы обозначим, как Е1

8. Положение точки Е1 на экваториальном круге определяется длиной дуги, заключенной между точками М1 и Е1. Отсчет ведется ПРОТИВ часовой стрелки. Дуга экваториального круга, заключенная между точками М1 и Е1 называется ДОЛГОТОЙ точки А. Долгота обозначается буквой  .

Подведем промежуточный итог. На данный момент нам известны ДВЕ из ТРЕХ координат, описывающих положение точки А в пространстве – это радиус-вектор (r) и долгота (). Теперь мы будем определять третью координату. Эта координата определяется положением точки А на ее меридиане. Но вот положение начальной точки, от которой происходит отсчет, однозначно не определено: мы можем начинать отсчет как от полюса сферы (точка Р1), так и от точки Е1, то есть от точки пересечения линий меридиана точки А и экватора (или другими словами – от линии экватора).

В первом случае, положение точки А на меридиане называется ПОЛЯРНЫМ РАССТОЯНИЕМ (обозначается как р ) и определяется длиной дуги, заключенной между точкой Р1 (или точкой полюса сферы) и точкой А. Отсчет ведется вдоль линии меридиана от точки Р1 к точке А.

Во втором случае, когда отсчет ведется от линии экватора, положение точки А на линии меридиана называется ШИРОТОЙ (обозначается как   и определяется длиной дуги, заключенной между точкой Е1 и точкой А.

Теперь мы можем окончательно сказать, что положение точки А в сферической системе координат определяется через:

· длину радиуса сферы (r),

· длину дуги долготы (),

· длину дуги полярного расстояния (р)

В этом случае координаты точки А запишутся следующим образом: А(r, , p)

Если пользоваться иной системой отсчета, то положение точки А в сферической системе координат определяется через:

· длину радиуса сферы (r),

· длину дуги долготы (),

· длину дуги широты ()

В этом случае координаты точки А запишутся следующим образом: А(r, , )

Способы измерения дуг

Возникает вопрос – как же нам измерить эти дуги? Самый простой и естественный способ – это провести непосредственное измерение длин дуг гибкой линейкой, и это возможно, если размеры сферы сравнимы с размерами человека. Но как поступить, если это условие не выполнимо?

В этом случае мы прибегнем к измерению ОТНОСИТЕЛЬНОЙ длины дуги. За эталон же мы примем длину окружности, частью которой является интересующая нас дуга. Как это можно сделать?

Если через точку О в про-стран-стве мы про-ве-дем три пер-пен-ди-ку-ляр-ные пря-мые, на-зо-вем их, вы-бе-рем на-прав-ле-ние, обо-зна-чим еди-нич-ные от-рез-ки, то мы по-лу-чим пря-мо-уголь-ную си-сте-му ко-ор-ди-нат в про-стран-стве . Оси ко-ор-ди-нат на-зы-ва-ют-ся так: Ох - ось абс-цисс, Оy - ось ор-ди-нат и Оz - ось ап-пли-кат . Вся си-сте-ма ко-ор-ди-нат обо-зна-ча-ет-ся - Oxyz. Таким об-ра-зом, по-яв-ля-ют-ся три ко-ор-ди-нат-ные плос-ко-сти : Оxy, Оxz, Оyz.

При-ве-дем при-мер по-стро-е-ния точки В(4;3;5) в пря-мо-уголь-ной си-сте-ме ко-ор-ди-нат (см. Рис. 1).

Рис. 1. По-стро-е-ние точки B в про-стран-стве

Пер-вая ко-ор-ди-на-та точки B - 4, по-это-му от-кла-ды-ва-ем на Ox 4, про-во-дим пря-мую па-рал-лель-но оси Oy до пе-ре-се-че-ния с пря-мой, про-хо-дя-щей через у=3. Таким об-ра-зом, мы по-лу-ча-ем точку K. Эта точка лежит в плос-ко-сти Oxy и имеет ко-ор-ди-на-ты K(4;3;0). Те-перь нужно про-ве-сти пря-мую па-рал-лель-но оси Oz. И пря-мую, ко-то-рая про-хо-дит через точку с ап-пли-ка-той 5 и па-рал-лель-на диа-го-на-ли па-рал-ле-ло-грам-ма в плос-ко-сти Oxy. На их пе-ре-се-че-нии мы по-лу-чим ис-ко-мую точку B.

Рас-смот-рим рас-по-ло-же-ние точек, у ко-то-рых одна или две ко-ор-ди-на-ты равны 0 (см. Рис. 2).

На-при-мер, точка A(3;-1;0). Нужно про-дол-жить ось Oy влево до зна-че-ния -1, найти точку 3 на оси Ox, и на пе-ре-се-че-нии линий, про-хо-дя-щих через эти зна-че-ния, по-лу-ча-ем точку А. Эта точка имеет ап-пли-ка-ту 0, а зна-чит, она лежит в плос-ко-сти Oxy.

Точка C(0;2;0) имеет абс-цис-су и ап-пли-ка-ту 0 - не от-ме-ча-ем. Ор-ди-на-та равна 2, зна-чит точка C лежит толь-ко на оси Oy, ко-то-рая яв-ля-ет-ся пе-ре-се-че-ни-ем плос-ко-стей Oxy и Oyz.

Чтобы от-ло-жить точку D(-4;0;3) про-дол-жа-ем ось Ox назад за на-ча-ло ко-ор-ди-нат до точки -4. Те-перь вос-ста-нав-ли-ва-ем из этой точки пер-пен-ди-ку-ляр - пря-мую, па-рал-лель-ную оси Oz до пе-ре-се-че-ния с пря-мой, па-рал-лель-ной оси Ox и про-хо-дя-щей через зна-че-ние 3 на оси Oz. По-лу-ча-ем току D(-4;0;3). Так как ор-ди-на-та точки равна 0, зна-чит точка D лежит в плос-ко-сти Oxz.

Сле-ду-ю-щая точка E(0;5;-3). Ор-ди-на-та точки 5, ап-пли-ка-та -3, про-во-дим пря-мые про-хо-дя-щие через эти зна-че-ния на со-от-вет-ству-ю-щих осях, и на их пе-ре-се-че-нии по-лу-ча-ем точку E(0;5;-3). Эта точка имеет первую ко-ор-ди-на-ту 0, зна-чит она лежит в плос-ко-сти Oyz.

2. Координаты вектора

На-чер-тим пря-мо-уголь-ную си-сте-му ко-ор-ди-нат в про-стран-стве Oxyz. За-да-дим в про-стран-стве пря-мо-уголь-ную си-сте-му ко-ор-ди-нат Oxyz. На каж-дой из по-ло-жи-тель-ных по-лу-осей от-ло-жим от на-ча-ла ко-ор-ди-нат еди-нич-ный век-тор, т. е. век-тор, длина ко-то-ро-го равна еди-ни-це. Обо-зна-чим еди-нич-ный век-тор оси абс-цисс, еди-нич-ный век-тор оси ор-ди-нат , и еди-нич-ный век-тор оси ап-пли-кат (см. рис. 1). Эти век-то-ры со-на-прав-ле-ны с на-прав-ле-ни-я-ми осей, имеют еди-нич-ную длину и ор-то-го-наль-ны - по-пар-но пер-пен-ди-ку-ляр-ны. Такие век-то-ра на-зы-ва-ют ко-ор-ди-нат-ны-ми век-то-ра-ми или ба-зи-сом.

Рис. 1. Раз-ло-же-ние век-то-ра по трем ко-ор-ди-нат-ным век-то-рам

Возь-мем век-тор , по-ме-стим его в на-ча-ло ко-ор-ди-нат, и раз-ло-жим этот век-тор по трем неком-пла-нар-ным - ле-жа-щим в раз-ных плос-ко-стях - век-то-рам. Для этого опу-стим про-ек-цию точки M на плос-кость Oxy, и най-дем ко-ор-ди-на-ты век-то-ров , и . По-лу-ча-ем: . Рас-смот-рим по от-дель-но-сти каж-дый из этих век-то-ров. Век-тор лежит на оси Ox, зна-чит, со-глас-но свой-ству умно-же-ния век-то-ра на число, его можно пред-ста-вить как ка-кое-то число x умно-жен-ное на ко-ор-ди-нат-ный век-тор . , а длина век-то-ра ровно в x раз боль-ше длины . Так же по-сту-пим и с век-то-ра-ми и , и по-лу-ча-ем раз-ло-же-ние век-то-ра по трем ко-ор-ди-нат-ным век-то-рам:

Ко-эф-фи-ци-ен-ты этого раз-ло-же-ния x, y и z на-зы-ва-ют-ся ко-ор-ди-на-та-ми век-то-ра в про-стран-стве.

Рас-смот-рим пра-ви-ла, ко-то-рые поз-во-ля-ют по ко-ор-ди-на-там дан-ных век-то-ров найти ко-ор-ди-на-ты их суммы и раз-но-сти, а также ко-ор-ди-на-ты про-из-ве-де-ния дан-но-го век-то-ра на дан-ное число.

1) Сло-же-ние:

2) Вы-чи-та-ние:

3) Умно-же-ние на число: ,

Век-тор, на-ча-ло ко-то-ро-го сов-па-да-ет с на-ча-лом ко-ор-ди-нат, на-зы-ва-ет-ся ра-ди-ус -век-то-ром. (Рис. 2). Век-тор - ра-ди-ус-век-тор, где x, y и z - это ко-эф-фи-ци-ен-ты раз-ло-же-ния этого век-то-ра по ко-ор-ди-нат-ным век-то-рам , , . В дан-ном слу-чае x - это пер-вая ко-ор-ди-на-та точки A на оси Ox, y - ко-ор-ди-на-та точки B на оси Oy, z - ко-ор-ди-на-та точки C на оси Oz. По ри-сун-ку видно, что ко-ор-ди-на-ты ра-ди-ус-век-то-ра од-но-вре-мен-но яв-ля-ют-ся ко-ор-ди-на-та-ми точки М.

Возь-мем точку A(x1;y1;z1) и точку B(x2;y2;z2) (см. рис. 3). Пред-ста-вим век-тор как раз-ность век-то-ров и по свой-ству век-то-ров. При-чем, и - ра-ди-ус-век-то-ры, и их ко-ор-ди-на-ты сов-па-да-ют с ко-ор-ди-на-та-ми кон-цов этих век-то-ров. Тогда мы можем пред-ста-вить ко-ор-ди-на-ты век-то-ра как раз-ность со-от-вет-ству-ю-щих ко-ор-ди-нат век-то-ров и : . Таким об-ра-зом, ко-ор-ди-на-ты век-то-ра мы можем вы-ра-зить через ко-ор-ди-на-ты конца и на-ча-ла век-то-ра.

Рас-смот-рим при-ме-ры, ил-лю-стри-ру-ю-щие свой-ства век-то-ров и их вы-ра-же-ние через ко-ор-ди-на-ты. Возь-мем век-то-ры , , . Нас спра-ши-ва-ют век-тор . В дан-ном слу-чае найти это зна-чит найти ко-ор-ди-на-ты век-то-ра, ко-то-рые пол-но-стью его опре-де-ля-ют. Под-став-ля-ем в вы-ра-же-ние вме-сто век-то-ров со-от-вет-ствен-но их ко-ор-ди-на-ты. По-лу-ча-ем:

Те-перь умно-жа-ем число 3 на каж-дую ко-ор-ди-на-ту в скоб-ках, и то же самое де-ла-ем с 2:

У нас по-лу-чи-лась сумма трех век-то-ров, скла-ды-ва-ем их по изу-чен-но-му выше свой-ству:

Ответ:

При-мер №2.

Дано: Тре-уголь-ная пи-ра-ми-да AOBC (см. рис. 4). Плос-ко-сти AOB, AOC и OCB - по-пар-но пер-пен-ди-ку-ляр-ны. OA=3, OB=7, OC=4; M - сер.AC; N - сер.OC; P - сер. CB.

Найти: ,,,,,,,.

Ре-ше-ние: Вве-дем пря-мо-уголь-ную си-сте-му ко-ор-ди-нат Oxyz с на-ча-лом от-сче-та в точке O. По усло-вию обо-зна-ча-ем точки A, B и C на осях и се-ре-ди-ны ребер пи-ра-ми-ды - M, P и N. По ри-сун-ку на-хо-дим ко-ор-ди-на-ты вер-шин пи-ра-ми-ды: A(3;0;0), B(0;7;0), C(0;0;4).

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X "X и Y "Y O , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление. В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси Y "Y вверх, ось X "X смотрела направо.

Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X "X и Y "Y , называются координатными углами или квадрантами (см. рис. 1).

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y . Координата x равна длине отрезка OB , координата y - длине отрезка OC OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y "Y и X "X соответственно.

Координата x называется абсциссой точки A , координата y - ординатой точки A . Записывают так: .

Если точка A лежит в координатном углу I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном углу III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

Рис. 2 : Декартова плоскость

Декартовыми прямоугольными координатами точки P на плоскости называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до двух взаимно перпендикулярных прямых - осей координат или, что то же, проекции радиус-вектора r точки P на две взаимно перпендикулярные координатные оси.

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX , OY и OZ . Оси координат пересекаются в точке O , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). OX - ось абсцисс, OY - ось ординат, OZ - ось аппликат.

Если большой палец правой руки принять за направление X , указательный за направление Y , а средний за направление Z , то образуется правая система координат.

Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат.

Иначе говоря, положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY , если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ . Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси.

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x , y и z . Координата x равна длине отрезка OB , координата y - длине отрезка OC , координата z - длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB , OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ , XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой точки A , координата y - ординатой точки A , координата z - аппликатой точки A . Записывают так: .