«Чистые» стратегии. Смешанные стратегии

Выбор игроком того или иного действия называется ходом . Ходы бывают личные (игрок сознательно принимает то или иное решение) и случайные (исход игры не зависит от воли игрока). Набор правил, которые определяют, какой ход игроку необходимо сделать, называется стратегией . Стратегии бывают чистыми (неслучайные решения игроков) и смешанными (стратегию можно рассматривать как случайную величину).

Седловая точка

В теории игр С. т. (седловой элемент ) - это наибольший элемент столбца матрицы игры , который одновременно является наименьшим элементом соответствующей строки (в игре двух лиц с нулевой суммой ). В этой точке, следовательно, максимин одного игрока равен минимаксу другого; С. т. есть точка равновесия .

Теорема о минимаксе

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией .

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" максиминной и минимаксной стратегий, называется принципом минимакса . Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.

Игрок выбирает свои действия, предполагая, что противник будет действовать неблагоприятным образом, т.е. будет стараться "навредить".

Функция потерь

Функция потерь – функция, которая в теории статистических решений характеризует потери при неправильном принятии решений на основе наблюдаемых данных. Если решается задача оценки параметра сигнала на фоне помех, то функция потерь является мерой расхождения между истинным значением оцениваемого параметра и оценкой параметра

Оптимальная Смешанная стратегия игрока - это полный набор примене­ния его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями.

Смешанная стратегия игрока - это полный набор примене­ния его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями.

1. Если все элементы строки не больше соответствующих элементов другой строки, то исходная строка может быть вычеркнута из платежной матрицы. Аналогично для столбцов.

2. Цена игры единственна.

Док-во: допустим, что есть 2 цены игры v и , которые достигаются на паре и соответственно, тогда

3. Если ко всем элементам платежной матрицы прибавить одно и то же число, то оптимальные смешанные стратегии не изменятся, а цена игры увеличится на это число.

Док-во:
, где

4. Если все элементы платежной матрицы умножить на одно и то же число не равное нулю, цена игры умножится на это число, а оптимальные стратегии не изменятся.

теория игра стратегия смешанная

Смешанные стратегии

Если в матричной игре отсутствует седловая точка в чистых стратегиях, то находят верхнюю и нижнюю цены игры. Они показывают, что игрок 1 не получит выигрыша, превосходящего верхнюю цену игры, и что игроку 1 гарантирован выигрыш, не меньший нижней цены игры.

Смешанная стратегия игрока - это полный набор его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями. Подведем итоги сказанного и перечислим условия применения смешанных стратегий:

• * игра без седловой точки;
• * игроки используют случайную смесь чистых стратегий с заданными вероятностями;
• * игра многократно повторяется в сходных условиях;
• * при каждом из ходов ни один игрок не информирован о выборе стратегии другим игроком;
• * допускается осреднение результатов игр.

Применяются следующие обозначения смешанных стратегий.

Для игрока 1 смешанная стратегия, заключающаяся в применении чистых стратегий А 1 , А 2 , ..., А т с соответствующими вероятностями р 1 , р 2, ..., р т.

Для игрока 2

q j -- вероятность применения чистой стратегии B j .

В случае когда р i = 1, для игрока 1 имеем чистую стратегию

Чистые стратегии игрока являются единственно возможными несовместными событиями. В матричной игре, зная матрицу А (она относится и к игроку 1, и к игроку 2), можно определить при заданных векторах и средний выигрыш (математическое ожидание эффекта) игрока 1:

где и - векторы;

p i и q i - компоненты векторов.

Путем применения своих смешанных стратегий игрок 1 стремится максимально увеличить свой средний выигрыш, а игрок 2 - довести этот эффект до минимально возможного значения. Игрок 1 стремится достигнуть

Игрок 2 добивается того, чтобы выполнялось условие

Обозначим и векторы, соответствующие оптимальным смешанным стратегиям игроков 1 и 2, т.е. такие векторы и, при которых будет выполнено равенство

Цена игры - средний выигрыш игрока 1 при использовании обоими игроками смешанных стратегий. Следовательно, решением матричной игры является:

• - оптимальная смешанная стратегия игрока 1;
• - оптимальная смешанная стратегия игрока 2;

Цена игры.

Смешанные стратегии будут оптимальными (и), если образуют седловую точку для функции т.е.

Существует основная теорема математических игр.

Для матричной игры с любой матрицей А величины

существуют и равны между собой: = = .

Следует отметить, что при выборе оптимальных стратегий игроку 1 всегда будет гарантирован средний выигрыш, не меньший чем цена игры, при любой фиксированной стратегии игрока 2 (и, наоборот, для игрока 2). Активными стратегиями игроков 1 и 2 называют стратегии, входящие в состав оптимальных смешанных стратегий соответствующих игроков с вероятностями, отличными от нуля. Значит, в состав оптимальных смешанных стратегий игроков могут входить не все априори заданные их стратегии.

Решить игру - означает найти цену игры и оптимальные стратегии. Рассмотрение методов нахождения оптимальных смешанных стратегий для матричных игр начнем с простейшей игры, описываемой матрицей 22. Игры с седловой точкой специально рассматриваться не будут. Если получена седловая точка, то это означает, что имеются невыгодные стратегии, от которых следует отказываться. При отсутствии седловой точки можно получить две оптимальные смешанные стратегии. Как уже отмечалось, эти смешанные стратегии записываются так:

Значит, имеется платежная матрица

a 11 p 1 + a 21 p 2 = ; (1.16)

a 12 p 1 + a 22 p 2 = ; (1.17)

p 1 + p 2 = 1. (1.18)

a 11 p 1 + a 21 (1 - p 1) = a 12 p 1 + a 22 (1 - p 1); (1.19)

a 11 p 1 + a 21 - a 21 p 1 = a 12 p 1 + a 22 - a 22 p 1 , (1.20)

откуда получаем оптимальные значенияи:

Зная и, находим:

Вычислив, находим и:

a 11 q 1 + a 12 q 2 = ; q 1 + q 2 = 1; (1.24)

a 11 q 1 + a 12 (1 - q 1) = . (1.25)

при a 11 a 12 . (1.26)

Задача решена, так как найдены векторы и цена игры. Имея матрицу платежей А, можно решить задачу графически. При этом методе алгоритм решения весьма прост (рис. 2.1).

• 1. По оси абсцисс откладывается отрезок единичной длины.
• 2. По оси ординат откладываются выигрыши при стратегии А 1 .
• 3. На линии, параллельной оси ординат, в точке 1 откладываются выигрыши при стратегии a 2 .
• 4. Концы отрезков обозначаются для a 11 -b 11 , a 12 -b 21 , a 22 -b 22 , a 21 -b 12 и проводятся две прямые линии b 11 b 12 и b 21 b 22 .
• 5. Определяется ордината точки пересечения с. Она равна. Абсцисса точки с равна р 2 (р 1 = 1 - р 2).

Рис. 1.1.

Данный метод имеет достаточно широкую область приложения. Это основано на общем свойстве игр тп, состоящем в том, что в любой игре тп каждый игрок имеет оптимальную смешанную стратегию, в которой число чистых стратегий не больше, чем min(m, n). Из этого свойства можно получить известное следствие: в любой игре 2п и т2 каждая оптимальная стратегия и содержит не более двух активных стратегий. Значит, любая игра 2п и т2 может быть сведена к игре 22. Следовательно, игры 2п и т2 можно решить графически. Если матрица конечной игры имеет размерность тп, где т > 2 и п > 2, то для определения оптимальных смешанных стратегий используется линейное программирование.

Матричная игра двух игроков с нулевой суммой может рассматриваться как следующая абстрактная игра двух игроков.

Первый игрок имеет m стратегий i = 1,2,...,m , второй имеет n стратегий j = 1,2,...,n . Каждой паре стратегий (i , j ) поставлено в соответствие число а ij , выражающее выигрыш игрока 1 за счёт игрока 2, если первый игрок примет свою i - ю стратегию, а 2 – свою j -ю стратегию.

Каждый из игроков делает один ход: игрок 1 выбирает свою i -ю стратегию (i = ), 2– свою j -ю стратегию (j =
), после чего игрок 1 получает выигрыш а ij за счёт игрока 2 (если а ij < 0, то это значит, что игрок 1 платит второму сумму |а ij |). На этом игра заканчивается.

Каждая стратегия игрока i =
; j =
часто называется чистой стратегией.

Если рассмотреть матрицу

А =

то проведение каждой партии матричной игры с матрицей А сводится к выбору игроком 1 i -й строки, а игроком 2 j -го столбца и получения игроком 1 (за счёт игрока 2) выигрыша а ij .

Главным в исследовании игр является понятие оптимальных стратегий игроков. В это понятие интуитивно вкладывается такой смысл: стратегия игрока является оптимальной, если применение этой стратегии обеспечивает ему наибольший гарантированный выигрыш при всевозможных стратегиях другого игрока. Исходя из этих позиций, игрок 1 исследует матрицу выигрышей А следующим образом: для каждого значения i (i =
) определяется минимальное значение выигрыша в зависимости от применяемых стратегий игрока 2

а ij (i =
)

т.е. определяется минимальный выигрыш для игрока 1 при условии, что он примет свою i -ю чистую стратегию, затем из этих минимальных выигрышей отыскивается такая стратегия i = i о , при которой этот минимальный выигрыш будет максимальным, т.е. находится

а ij =
=(1)

Определение . Число , определённое по формуле (1) называется нижней чистой ценой игры и показывает, какой минимальный выигрыш может гарантировать себе игрок 1, применяя свои чистые стратегии при всевозможных действиях игрока 2.

Игрок 2 при оптимальном своём поведении должен стремится по возможности за счёт своих стратегий максимально уменьшить выигрыш игрока 1. Поэтому для игрока 2 отыскивается

а ij

т.е. определяется max выигрыш игрока 1, при условии, что игрок 2 применит свою j -ю чистую стратегию, затем игрок 2 отыскивает такую свою j = j 1 стратегию, при которой игрок 1 получит min выигрыш, т.е. находит

a ij =
=(2).

Определение . Число , определяемое по формуле (2), называется чистой верхней ценой игры и показывает, какой максимальный выигрыш за счёт своих стратегий может себе гарантировать игрок 1.

Другими словами, применяя свои чистые стратегии игрок 1 может обеспечить себе выигрыш не меньше , а игрок 2 за счёт применения своих чистых стратегий может не допустить выигрыш игрока 1 больше, чем .

Определение . Если в игре с матрицей А =, то говорят, что эта игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры

 = =.

Седловая точка – это пара чистых стратегий (i о , j о ) соответственно игроков 1 и 2, при которых достигается равенство =. В это понятие вложен следующий смысл: если один из игроков придерживается стратегии, соответствующей седловой точке, то другой игрок не сможет поступить лучше, чем придерживаться стратегии, соответствующей седловой точке. Математически это можно записать и иначе:

где i , j – любые чистые стратегии соответственно игроков 1 и 2; (i о , j о ) – стратегии, образующие седловую точку.

Таким образом, исходя из (3), седловой элемент
является минимальным в i о -й строке и максимальным в j о -м столбце в матрице А. Отыскание седловой точки матрицы А происходит следующим образом: в матрице А последовательно в каждой строке находят минимальный элемент и проверяют, является ли этот элемент максимальным в своём столбце . Если да, то он и есть седловой элемент, а пара стратегий, ему соответствующая, образует седловую точку. Пара чистых стратегий (i о , j о ) игроков 1 и 2, образующая седловую точку и седловой элемент
, называется решением игры . При этом i о и j о называются оптимальными чистыми стратегиями соответственно игроков 1 и 2.

Пример 1

Седловой точкой является пара (i о = 3;j о = 1), при которой === 2.

Заметим, что хотя выигрыш в ситуации (3;3) также равен 2 ==, она не является седловой точкой, т.к. этот выигрыш не является максимальным среди выигрышей третьего столбца.

Пример 2

Из анализа матрицы выигрышей видно, что
, т.е. данная матрица не имеет седловой точки. Если игрок 1 выбирает свою чистую максиминную стратегию i = 2, то игрок 2, выбрав свою минимаксную j = 2, проиграет только 20. В этом случае игроку 1 выгодно выбрать стратегию i = 1, т.е. отклониться от своей чистой максиминной стратегии и выиграть 30. Тогда игроку 2 будет выгодно выбрать стратегию j = 1, т.е. отклониться от своей чистой минимаксной стратегии и проиграть 10. В свою очередь игрок 1 должен выбрать свою 2-ю стратегию, чтобы выиграть 40, а игрок 2 ответит выбором 2-й стратегии и т.д.

Рассмотрим пример. Пусть дана матрица игры (4):

Требуется найти нижнюю цену игры α, верхнюю цену игры β и минимаксные стратегии и проверить, являются ли они устойчивыми. Решение. Из анализа дополнительных столбца и строки получаем: α = 5, β = 5. Максимин равен минимаксу! Случай особый. Что же из этого следует? Возьмем пару минимаксных стратегий: К 2 и С 3 . Если оба держатся этих стратегий, то выигрыш будет равен 5. Теперь, допустим, мы узнали о поведении противника. Что будем делать? А ничего! Мы по-прежнему будем держаться стратегии К 2 , потому что любое отступление от нее нам невыгодно. Знаем мы или не знаем о поведении противника - все равно будем держаться стратегии К 2 ! То же относится и к «синим» - им нет смысла менять свою стратегию С 3 . В данном примере пара стратегий К 2 и С 3 устойчива, т. е. представляет собой положение равновесия и дает решение игры. Почему так получилось? Потому что в матрице имеется особый элемент 5; он является минимальным в своей строке и одновременно максимальным в своем столбце. Такой элемент называется седловой точкой . Если матрица имеет седловую точку (т. е. нижняя цена игры равна верхней), то игра имеет решение в чистых стратегиях: это - пара стратегий, пересекающихся в седловой точке. Сама же седловая точка дает цену игры - в нашем примере она равна 5. Класс игр, имеющих седловую точку, имеет большое значение в теории игр. В частности, доказано, что если по правилам игры каждый из игроков знает результат всех предыдущих ходов, как своих, так и противника (так называемая игра с полной информацией), то игра имеет седловую точку и, значит, имеет решение в чистых стратегиях . Примерами игр с полной информацией могут служить: шахматы, шашки, «крестики и нолики» и т. п. Приведем пример игры с полной информацией, решение которой легко найти. Два игрока - К и С - поочередно кладут одинаковые монеты на круглый стол. Положение каждой монеты выбирается произвольно, лишь бы она не перекрывалась другими. Выигрывает тот из игроков, который положит монету последним (когда места для других уже не остается). Стоит немножко подумать, чтобы убедиться, что исход этой игры всегда предрешен и что существует вполне определенная стратегия, гарантирующая выигрыш тому из игроков, который кладет монету первым (пусть это будет К). А именно К должен положить первую монету в центр стола, а далее на каждый ход С отвечать в точности симметричным относительно центра стола ходом! Бедный С может при этом вести себя как угодно, спасения ему все равно нет... Очевидно, такая игра имеет смысл только для тех, кто не знает решения. Любопытно, что совершенно так же обстоит дело и с такой популярной игрой, как шахматы! Эта игра имеет смысл только до тех пор, пока не найдено ее решение. Теоретически доказано, что решение существует и исход шахматной игры в сущности предрешен: если каждая сторона будет пользоваться своей оптимальной стратегией, то игра либо всегда будет кончаться выигрышем белых, либо всегда выигрышем черных, либо всегда ничьей! Но чем же именно? Мы пока этого не знаем, так как число возможных стратегий слишком велико, чтобы можно было построить матрицу шахматной игры и найти в ней седловую точку... Наверное, любители шахмат заинтересованы в том, чтобы шахматная игра была решена еще не скоро. Заметим в заключение, что седловых точек в матрице может быть не одна, а несколько; тог да решений игры в чистых стратегиях существует столько, сколько имеется седловых точек. Каждое из них дает выигрыш, равный цене игры.

Оптимальные чистые стратегии игроков отличаются от смешанных наличием обязательного единичного p i = 1, q i = 1. Например: P(1,0), Q(1,0). Здесь p 1 = 1, q 1 = 1.

Задача 1
По платёжной матрице найти оптимальные чистые стратегии, используя принцип строгого доминирования. В качестве ответа записать векторы P*, Q*.

Все задачи решаем с помощью калькулятора Матричная игра .

Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

p 1 = 1
p 2 = 0
Цена игры, y = 1
Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений
q 1 = 1
q 1 +q 2 = 1
Решая эту систему, находим:
q 1 = 1.
Ответ:
Цена игры: y = 1, векторы стратегии игроков:
Q(1, 0), P(1, 0)

∑a ij q j ≤ v
∑a ij p i ≥ v
M(P 1 ;Q) = (1 1) + (2 0) = 1 = v
M(P 2 ;Q) = (-2 1) + (-2 0) = -2 ≤ v
M(P;Q 1) = (1 1) + (-2 0) = 1 = v
M(P;Q 2) = (2 1) + (-2 0) = 2 ≥ v

Поскольку из исходной матрицы были удалены строки и столбцы, то найденные векторы вероятности можно записать в виде:
P(1,0,0,0)
Q(0,1,0,0)

Задача 2
По платёжной матрице найти нижнюю и верхнюю цену игры. При наличии седловой точки записать векторы оптимальных чистых стратегий P*, Q*.

Задача 3
По платёжной матрице найти векторы оптимальных стратегий P*, Q*и цену игры. Кто из игроков оказывается в выигрыше?

Максиминной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка N, для которой можно записать следующую систему уравнений:
p 1 = 0
p 2 = 1
Цена игры, y = -2
Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений, исключив стратегию B 1 ,B 3 ,B 4 , которая дает явно больший проигрыш игроку B, и, следовательно, q 1 = 0,q 3 = 0,q 4 = 0.
-2q 2 = -2
q 2 = 1
Решая эту систему, находим:
q 2 = 1.
Ответ:
Цена игры: y = -2, векторы стратегии игроков:
Q(0, 1, 0, 0), P(0, 1)
4. Проверим правильность решения игры с помощью критерия оптимальности стратегии.
∑a ij q j ≤ v
∑a ij p i ≥ v
M(P 1 ;Q) = (-6 0) + (-6 1) + (2 0) + (4 0) = -6 ≤ v
M(P 2 ;Q) = (2 0) + (-2 1) + (7 0) + (-1 0) = -2 = v
M(P;Q 1) = (-6 0) + (2 1) = 2 ≥ v
M(P;Q 2) = (-6 0) + (-2 1) = -2 = v
M(P;Q 3) = (2 0) + (7 1) = 7 ≥ v
M(P;Q 4) = (4 0) + (-1 1) = -1 ≥ v
Все неравенства выполняются как равенства или строгие неравенства, следовательно, решение игры найдено верно.

Задача 4
Дайте развернутый ответ на вопрос

5. ТЕОРИЯ ИГР И СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

5.1. Матричная игра с нулевой суммой

Экономико-математическое моделирование осуществляется в условиях:

Определенности;

Неопределенности.

Моделирование в условиях определенности предполагает наличие всех необходимых для этого исходных нормативных данных (матричное моделирование, сетевое планирование и управление).

Моделирование в условиях риска проводится при стохастической неопределенности, когда значения некоторых исходных данных случайны и известны законы распределения вероятностей этих случайных величин (регрессионный анализ, теория массового обслуживания).

Моделирование в условиях неопределенности соответствует полному отсутствию некоторых необходимых для этого данных (теория игр).

Математические модели принятия оптимальных решений в конфликтных ситуациях строятся в условиях неопределенности.

В теории игр оперируют следующими основными понятиями:

Стратегия;

Функция выигрыша.

Ходом будем называть выбор и осуществление игроком одного из предусмотренных правилами игры действий.

Стратегия - это технология выбора варианта действий при каждом ходе в зависимости от сложившейся ситуации.

Функция выигрыша служит для определения величины платежа проигравшего игрока выигравшему.

В матричной игре функция выигрыша представляется в виде платежной матрицы :

где - величина платежа игроку I, выбравшему ход , от игрока II, выбравшего ход .

В такой парной игре значения функций выигрыша обоих игроков в каждой ситуации равны по величине и противоположны по знаку, т. е. и такую игру называют с нулевой суммой .

Процесс "игры в матричную игру" представляется следующим образом:

Задается платежная матрица ;

Игрок I независимо от игрока II выбирает одну из строк этой матрицы, например, -ую;

Игрок II независимо от игрока I выбирает один из столбцов этой матрицы, например, - ый;

Элемент матрицы определяет, сколько получит игрок I от игрока II. Разумеется, если , то речь идет о фактическом проигрыше игрока I.

Антагонистическую парную игру с платежной матрицей будем называть игрой .

Пример

Рассмотрим игру .

Задана платежная матрица:

.

Пусть игрок I независимо от игрока II выбирает 3-ю строку этой матрицы, а игрок II независимо от игрока I выбирает 2-ой столбец этой матрицы:

Тогда игрок I получит 9 единиц от игрока II.

5.2. Оптимальная чистая стратегия в матричной игре

Оптимальной стратегией называется такая стратегия игрока I, при которой он не уменьшит своего выигрыша при любом выборе стратегии игроком II, и такая стратегия игрока II, при которой он не увеличит своего проигрыша при любом выборе стратегии игроком I.

Выбирая в качестве хода -ую строку платежной матрицы, игрок I обеспечивает себе выигрыш не менее величины в наихудшем случае, когда игрок II будет стараться минимизировать эту величину. Поэтому игрок I выберет такую -ую строку, которая обеспечит ему максимальный выигрыш:

.

Игрок II рассуждает аналогично и может наверняка обеспечить себе минимальный проигрыш:

.

Всегда справедливо неравенство:

Величину называют нижней ценой игры .

Величину называют верхней ценой игры .

Оптимальные стратегии и называются чистыми , если для них выполняются равенства:

,

.

Величину называют чистой ценой игры , если .

Оптимальные чистые стратегии и образуют седловую точку платежной матрицы .

Для седловой точки выполняются условия:

т. е. элемент является наименьшим в строке и наибольшим в столбце.

Таким образом, если платежная матрица имеет седловую точку , то можно найти оптимальные чистые стратегии игроков.

Чистая стратегия игрока I может быть представлена упорядоченным набором чисел (вектором), в котором все числа равны нулю, кроме числа, стоящего на - ом месте, которое равно единице.

Чистая стратегия игрока II может быть представлена упорядоченным набором чисел (вектором), в котором все числа равны нулю, кроме числа, стоящего на - ом месте, которое равно единице.

Пример

.

Выбирая в качестве хода какую-нибудь строку платежной матрицы, игрок I обеспечивает себе выигрыш в наихудшем случае не менее величины в столбце, обозначенном :

Поэтому игрок I выберет 2-ую строку платежной матрицы, обеспечивающую ему максимальный выигрыш независимо от хода игрока II, который будет стараться минимизировать эту величину:

Игрок II рассуждает аналогично и выберет в качестве хода 1-ый столбец:

Таким образом, имеется седловая точка платежной матрицы:

соответствующая оптимальной чистой стратегии для игрока I и для игрока II, при которой игрок I не уменьшит своего выигрыша при любом изменении стратегии игроком II и игрок II не увеличит своего проигрыша при любом изменении стратегии игроком I.

5.3. Оптимальная смешанная стратегия в матричной игре

Если платежная матрица не имеет седловой точки, то любому игроку нерационально использовать одну чистую стратегию. Выгоднее использовать "вероятностные смеси" чистых стратегий. Тогда в качестве оптимальных определяются уже смешанные стратегии.

Смешанная стратегия игрока характеризуется распределением вероятности случайного события, заключающегося в выборе этим игроком хода.

Смешанной стратегией игрока I называют такой упорядоченный набор чисел (вектор), который удовлетворяет двум условиям:

1) для , т. е. вероятность выбора каждой строки платежной матрицы неотрицательна;

2) , т. е. выбор каждой из строк платежной матрицы в совокупности представляет полную группу событий.

Смешенной стратегией игрока II будет упорядоченный набор чисел (вектор), удовлетворяющий условиям:

Величина платежа игроку I, выбравшему смешанную стратегию

от игрока II, выбравшему смешанную стратегию

,

представляет собой среднюю величину

.

Оптимальными называют смешанные стратегии

и ,

если для любых произвольных смешанных стратегий и выполняется условие:

т. е. при оптимальной смешанной стратегии выигрыш игрока I наибольший, а проигрыш игрока II наименьший.

Если в платежной матрице нет седловой точки, то

,

т. е. существует положительная разность (нераспределенная разность )

- ³ 0,

и игрокам нужно искать дополнительные возможности для уверенного получения в свою пользу большей доли этой разности.

Пример

Рассмотрим игру , заданную платежной матрицей:

.

Определим, есть ли седловая точка:

, .

Оказывается, что в платежной матрице нет седловой точки и нераспределенная разность равна :

.

5.4. Отыскание оптимальных смешанных стратегий

для игр 2×2

Определение оптимальных смешанных стратегий для платежной матрицы размерностью осуществляется методом нахождения точек оптимума функции двух переменных.

Пусть вероятность выбора игроком I первой строки платежной матрицы

равна . Тогда вероятность выбора второй строки равна .

Пусть вероятность выбора игроком II первого столбца равна . Тогда вероятность выбора второго столбца равно .

Величина платежа игроку I игроком II равна:

Экстремальная величина выигрыша игрока I и проигрыша игрока II соответствует условиям:

;

.

Таким образом, оптимальные смешанные стратегии игроков I и II соответственно равны:

5.5. Геометрическое решение игр 2× n

При увеличении размерности платежной матрицы с до уже нельзя определение оптимальных смешанных стратегий свести к нахождению оптимума функции двух переменных. Однако учитывая то, что один из игроков имеет только две стратегии, можно использовать геометрическое решение.

Основные этапы нахождения решения игры сводятся к следующему.

На плоскости введем систему координат. На оси отложим отрезок . Из левого и правого концов этого отрезка проведем перпендикуляры.

Левый и правый концы единичного отрезка соответствуют двум стратегиям и , имеющимся у игрока I. На проведенных перпендикулярах будем откладывать выигрыши этого игрока. Например, для платежной матрицы

такими выигрышами игрока I при выборе стратегии будут и , а при выборе стратегии будут и .

Соединим отрезками прямой точки выигрыша игрока I, соответствующие стратегиям игрока II. Тогда образованная ломанная линия, ограничивающая график снизу, определяет нижнюю границу выигрыша игрока I.

Находим оптимальную смешанную стратегию игрока I

,

которая соответствует точке на нижней границе выигрыша игрока I с максимальной ординатой.

Обратим внимание на то, что в рассматриваемом примере, пользуясь только двумя стратегиями и , соответствующими прямым, пересекающимся в найденной точке на нижней границе выигрыша игрока I, игрок II может воспрепятствовать игроку I получить больший выигрыш.

Таким образом, игра сводится к игре и оптимальной смешанной стратегией игрока II в рассматриваемом примере будет

,

где вероятность находится так же, как в игре :

5.6. Решение игр m × n

Если матричная игра не имеет решения в чистых стратегиях (т. е. нет седловой точки) и из-за большой размерности платежной матрицы не может быть решена графически, то для получения решения используют метод линейного программирования .

Пусть задана платежная матрица размерности :

.

Необходимо найти вероятности , с которыми игрок I должен выбирать свои ходы для того, чтобы данная смешанная стратегия гарантировала ему выигрыш не менее величины независимо от выбора ходов игроком II.

Для каждого выбранного хода игроком II выигрыш игрока I определяется зависимостями:

Разделим обе части неравенств на и введем новые обозначения:

Равенство

Примет вид:

Поскольку игрок I стремится максимизировать выигрыш , то обратную величину нужно минимизировать. Тогда задача линейного программирования для игрока I примет вид:

при ограничениях

Аналогично строится задача для игрока II как двойственная:

при ограничениях

Решая задачи симплекс-методом, получаем:

,

5.7. Особенности решения матричных игр

Прежде, чем решать задачу по отысканию оптимальных стратегий, следует проверить два условия:

Можно ли упростить платежную матрицу;

Имеет ли платежная матрица седловую точку.

Рассмотрим возможность упрощения платежной матрицы:

В связи с тем, что игрок I стремится получить наибольший выигрыш, то из платежной матрицы можно вычеркнуть - ую строку, т. к. он никогда не воспользуется этим ходом, если выполняется следующее соотношение с любой другой - ой строкой:

Аналогично, стремясь к наименьшему проигрышу, игрок II никогда не выберет в качестве хода - ый столбец в платежной матрице и этот столбец можно вычеркнуть, если выполняется следующее соотношение с любым другим - ым столбцом:

Наиболее простым решением игры является наличие в упрощенной платежной матрице седловой точки, которая отвечает следующему условию (по определению):

Пример

Дана платежная матрица:

.

Упрощение платежной матрицы:

Наличие седловой точки:

5.8. Игра с природой

В отличие от задач теории игр в задачах теории статистических решений неопределенная ситуация не имеет антагонистической конфликтной окраски и зависит от объективной действительности, которую принято называть "природой" .

В матричных играх с природой в качестве игрока II выступает совокупность неопределенных факторов, влияющих на эффективность принимаемых решений.

Матричные игры с природой отличаются от обычных матричных игр только тем, что при выборе оптимальной стратегии игроком I уже нельзя ориентироваться на то, что игрок II будет стремиться минимизировать свой проигрыш. Поэтому наряду с платежной матрицей вводится матрица рисков :

гдe - величина риска игрока I при использовании хода в условиях, равная разности между выигрышем , который игрок I получил бы, если бы знал, что установится условие , т. е. , и выигрышем , который он получит, не зная при выборе хода , что установится условие .

Таким образом, платежная матрица однозначно преобразуется в матрицу рисков, а обратное преобразование неоднозначно.

Пример

Матрица выигрышей:

.

Матрица рисков:

Возможны две постановки задачи о выборе решения в матричной игре с природой :

Максимизация выигрыша;

Минимизация риска.

Задача принятия решений может быть поставлена для одного из двух условий:

- в условиях риска , когда известна функция распределения вероятностей стратегий природы, например, случайной величины появления каждой из предполагаемых конкретных экономических ситуаций;

- в условиях неопределенности , когда такая функция распределения вероятностей неизвестна.

5.9. Решение задач теории статистических решений

в условиях риска

При принятии решений в условиях риска игроку I известны вероятности наступления состояний природы.

Тогда игроку I целесообразно выбрать ту стратегию, для которой среднее значение выигрыша, взятое по строке, максимально :

.

При решении этой задачи с матрицей риска получаем такое же решение, соответствующее минимальному среднему риску :

.

5.10. Решение задач теории статистических решений

в условиях неопределенности

При принятии решений в условиях неопределенности можно воспользоваться следующими критериями :

Максиминным критерием Вальда;

Критерием минимального риска Севиджа;

Критерием пессимизма - оптимизма Гурвица;

Принципом недостаточного основания Лапласа.

Рассмотрим максиминный критерий Вальда .

Игра с природой ведется как с разумным агрессивным противником, т. е. осуществляется перестраховочный подход с позиции крайнего пессимизма для платежной матрицы:

.

Рассмотрим критерий минимального риска Севиджа .

Аналогичный предыдущему подход с позиции крайнего пессимизма для матрицы риска:

.

Рассмотрим критерий пессимизма - оптимизма Гурвица .

Предлагается возможность не руководствоваться ни крайним пессимизмом и ни крайним оптимизмом:

где степень пессимизма ;

при - крайний оптимизм,

при - крайний пессимизм.

Рассмотрим принцип недостаточного основания Лапласа .

Полагается, что все состояния природы равновероятны:

,

.

Выводы по пятому разделу

В матричной игре участвуют два игрока и функция выигрыша, служащая для определения величины платежа проигравшего игрока выигравшему, представляется в виде платежной матрицы. Условились, что игрок I - выбирает в качестве хода одну из строк платежной матрицы, а игрок II – один из ее столбцов. Тогда на пересечении выбранных строки и столбца этой матрицы стоит числовая величина платежа игроку I от игрока II (если эта величина положительна, то игрок I действительно выиграл, а если она отрицательна, то выиграл по существу игрок II).

Если в платежной матрице имеется седловая точка, то игроки обладают оптимальными чистыми стратегиями, т. е. для выигрыша каждый из них должен повторять свой один оптимальный ход. Если же седловой точки нет, то для выигрыша каждый из них должен воспользоваться оптимальной смешанной стратегией, т. е. использовать смесь ходов, каждый из которых должен производиться с оптимальной вероятностью.

Отыскание оптимальных смешанных стратегий для игр 2×2 производится вычислением оптимальных вероятностей по известным формулам. С помощью геометрического решения игр 2×n определение оптимальных смешанных стратегий в них сводится к отысканию оптимальных смешанных стратегий для игр 2×2. Для решения игр m×n используют метод линейного программирования для нахождения оптимальных смешанных стратегий в них.

Некоторые платежные матрицы поддаются упрощению, в результате которого уменьшается их размерность за счет удаления строк и столбцов, соответствующих неперспективным ходам.

Если в качестве игрока II выступает совокупность неопределенных факторов, зависящих от объективной действительности и не имеющих антагонистической конфликтной окраски, то такую игру называют игрой с природой, а для ее решения используют задачи теории статистических решений. Тогда наряду с платежной матрицей вводится матрица рисков и возможны две постановки задачи о выборе решения в матричной игре с природой: максимизация выигрыша и минимизация риска.

Решение задач теории статистических решений в условиях риска показывает, что игроку I целесообразно выбрать ту стратегию, для которой среднее значение (математическое ожидание) выигрыша, взятое по строке платежной матрицы, максимально, или (что то же самое) среднее значение (математическое ожидание) риска, взятое по строке матрицы рисков, минимально. При принятии решений в условиях неопределенности используют следующие критерии: максиминный критерий Вальда, критерий минимального риска Севиджа, критерий пессимизма-оптимизма Гурвица, принцип недостаточного основания Лапласа.

Вопросы для самопроверки

Как определяются основные понятия теории игр: ход, стратегия и функция выигрыша?

В виде чего представляется в матричной игре функция выигрыша?

Почему матричную игру называют с нулевой суммой?

Как представляется процесс игры в матричную игру?

Какая игра называется игрой m×n?

Какая стратегия матричной игры называется оптимальной?

Какая оптимальная стратегия матричной игры называется чистой?

Что означает седловая точка платежной матрицы?

Какая оптимальная стратегия матричной игры называется смешенной?

Как представляется смешанная стратегия игрока?

Что представляет собой величина платежа игроку I от игрока II, выбравшим смешанные стратегии?

Какие смешанные стратегии называют оптимальными?

Что означает нераспределенная разность?

С помощью какого метода находятся оптимальные смешанные стратегии для игр 2×2?

Каким образом находятся оптимальные смешанные стратегии для игр 2×n?

С помощью какого метода находятся оптимальные смешанные стратегии для игр m×n?

В чем заключаются особенности решения матричных игр?

Что означает упрощение платежной матрицы и при каких условиях оно может быть осуществлено?

Какую матричную игру легче решать, когда платежная матрица имеет или не имеет седловую точку?

Какие задачи теории игр относятся к задачам теории статистических решений?

Как платежная матрица преобразуется в матрицу рисков?

Какие две постановки задачи о выборе решений возможны в матричной игре с природой?

Для каких двух условий могут быть поставлены задачи принятия решений в матричной игре с природой?

Какую стратегию целесообразно выбрать игроку I при решении задачи теории статистических решений в условиях риска?

Какими критериями принятия решений можно воспользоваться при решении задач теории статистических решений в условиях неопределенности?

Примеры решения задач

1. В платежной матрице указаны величины прибыли предприятия при реализации им разных видов изделий (столбцы) в зависимости от установившегося спроса (строки). Необходимо определить оптимальную стратегию предприятия по выпуску изделий разных видов и соответствующий максимальный (в среднем) доход от их реализации.

Обозначим заданную матрицу через и введем переменные . Будем также использовать матрицу (вектор) . Тогда и , т. е. .

Рассчитывается обратная матрица :

Находятся значения:

.

Рассчитываются вероятности:

Определяется средний доход от реализации:

.

2. Фирма «Фармацевт» - производитель медикаментов и биомедицинских изделий в регионе. Известно, что пик спроса на некоторые лекарственные препараты приходится на летний период (препараты сердечно-сосудистой группы, анальгетики), на другие – на осенний и весенний периоды (антиинфекционные, противокашлевые).

Затраты на 1 усл. ед. продукции за сентябрь-октябрь составили: по первой группе (препараты сердечно-сосудистые и анальгетики) – 20 р.; по второй группе (антиинфекционные, противокашлевые препараты) – 15 р.

По данным наблюдений за несколько последних лет службой маркетинга фирмы установлено, что она может реализовать в течение рассматриваемых двух месяцев в условиях теплой погоды 3050 усл. ед. продукции первой группы и 1100 усл. ед. продукции второй группы; в условиях холодной погоды – 1525 усл. ед. продукции первой группы и 3690 усл. ед. второй группы.

В связи с возможными изменениями погоды ставится задача – определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую максимальный доход от реализации при цене продажи 40 р. за 1 усл. ед. продукции первой группы и 30 р. – второй группы.

РЕШЕНИЕ. Фирма располагает двумя стратегиями:

В этом году будет теплая погода;

Погода будет холодная.

Если фирма примет стратегию и в действительности будет теплая погода (стратегия природы ), то выпущенная продукция (3050 усл. ед. препаратов первой группы и 1100 усл. ед. второй группы) будет полностью реализована и доход составит

3050×(40-20)+1100×(30-15)=77500 р.

В условиях прохладной погоды (стратегия природы ) препараты второй группы будут проданы полностью, а первой группы только а количестве 1525 усл. ед. и часть препаратов останется нереализованной. Доход составит

1525×(40-20)+1100×(30-15)-20×()=16500 р.

Аналогично, если форма примет стратегию и в действительности будет холодная погода, то доход составит

1525×(40-20)+3690×(30-15)=85850 р.

При теплой погоде доход составит

1525×(40-20)+1100×(30-15)-() ×15=8150 р.

Рассматривая фирму и погоду в качестве двух игроков, получим платежную матрицу

,

Цена игры лежит в диапазоне

Из платежной матрицы видно, что при всех условиях доход фирмы будет не меньше 16500 р., но если погодные условия совпадут с выбранной стратегией, то доход фирмы может составить 77500 р.

Найдем решение игры.

Обозначим вероятность применения фирмой стратегии через , стратегии - через , причем . Решая игру графически методом, получим , при этом цена игры р.

Оптимальный план производства лекарственных препаратов составит

Таким образом, фирме целесообразно производить в течение сентября и октября 2379 усл. ед. препаратов первой группы и 2239,6 усл. ед. препаратов второй группы, тогда при любой погоде она получит доход не менее 46986 р.

В условиях неопределенности, если не представляется возможным фирме использовать смешанную стратегию (договоры с другими организациями), для определения оптимальной стратегии фирмы используем следующие критерии:

Критерий Вальде:

Критерий Гурвица: для определенности примем , тогда для стратегии фирмы

для стратегии

фирме целесообразно использовать стратегию .

Критерий Сэвиджа. Максимальный элемент в первом столбце – 77500, во втором столбце – 85850.

Элементы матрицы рисков находятся из выражения

,

откуда , ,

Матрица рисков имеет вид

,

целесообразно использовать стратегию или .

Следовательно, фирме целесообразно применять стратегию или .

Отметим, что каждый из рассмотренных критериев не может быть признан вполне удовлетворительным для окончательного выбора решений, однако их совместный анализ позволяет более наглядно представить последствия принятия тех или иных управленческих решений.

При известном распределении вероятностей различных состояний природы критерием принятия решения является максимум математического ожидания выигрыша.

Пусть известно для рассматриваемой задачи, что вероятности теплой и холодной погоды равны и составляют 0,5, тогда оптимальная стратегия фирмы определяется так:

Фирме целесообразно использовать стратегию или .

Задания для самостоятельной работы

1. Предприятие может выпускать три вида продукции (А, Б и В), получая при этом прибыль, зависящую от спроса. Спрос в свою очередь может принимать одно из четырех состояний (I, II, III и IV). В следующей матрице элементы характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске -ой продукции и -ом состоянии спроса: