Анализ проблем использования математических моделей для снижения уровня неопределенности принятия ур. Детерминированные и стохастические системы

Стохастическая модель описывает ситуацию, когда присутствует неопределенность. Другими словами, процесс характеризуется некоторой степенью случайности. Само прилагательное «стохастический» происходит от греческого слова «угадывать». Поскольку неопределенность является ключевой характеристикой повседневной жизни, то такая модель может описывать все что угодно.

Однако каждый раз, когда мы ее применяем, будет получаться разный результат. Поэтому чаще используются детерминированные модели. Хотя они и не являются максимально приближенными к реальному положению вещей, однако всегда дают одинаковый результат и позволяют облегчить понимание ситуации, упрощают ее, вводя комплекс математических уравнений.

Основные признаки

Стохастическая модель всегда включает одну или несколько случайных величин. Она стремится отразить реальную жизнь во всех ее проявлениях. В отличие от стохастическая не имеет цели все упростить и свести к известным величинам. Поэтому неопределенность является ее ключевой характеристикой. Стохастические модели подходят для описания чего угодно, но все они имеют следующие общие признаки:

• Любая стохастическая модель отражает все аспекты проблемы, для изучения которой создана.
• Исход каждого из явлений является неопределенным. Поэтому модель включает вероятности. От точности их расчета зависит правильность общих результатов.
• Эти вероятности можно использовать для прогнозирования или описания самих процессов.

Детерминированные и стохастические модели

Для некоторых жизнь представляется чередой для других - процессов, в которых причина обуславливает следствие. На самом же деле для нее характерна неопределенность, но не всегда и не во всем. Поэтому иногда трудно найти четкие различия между стохастическими и детерминированными моделями. Вероятности являются достаточно субъективным показателем.

Например, рассмотрим ситуацию с подбрасыванием монетки. На первый взгляд кажется, что вероятность того, что выпадет «решка», составляет 50%. Поэтому нужно использовать детерминированную модель. Однако на деле оказывается, что многое зависит от ловкости рук игроков и совершенства балансировки монетки. Это означает, что нужно использовать стохастическую модель. Всегда есть параметры, которые мы не знаем. В реальной жизни причина всегда обуславливает следствие, но существует и некоторая степень неопределенности. Выбор между использованием детерминированной и стохастической моделей зависит от того, чем мы готовы поступиться - простотой анализа или реалистичностью.

В теории хаоса

В последнее время понятие о том, какая модель называется стохастической, стало еще более размытым. Это связано с развитием так называемой теории хаоса. Она описывает детерминированные модели, которые могут давать разные результаты при незначительном изменении исходных параметров. Это похоже на введение в расчет неопределенности. Многие ученые даже допустили, что это уже и есть стохастическая модель.

Лотар Брейер изящно объяснил все с помощью поэтических образов. Он писал: «Горный ручеек, бьющееся сердце, эпидемия оспы, столб восходящего дыма - все это является примером динамического феномена, который, как кажется, иногда характеризуется случайностью. В реальности же такие процессы всегда подчинены определенному порядку, который ученые и инженеры еще только начинают понимать. Это так называемый детерминированный хаос». Новая теория звучит очень правдоподобно, поэтому многие современные ученые являются ее сторонниками. Однако она все еще остается мало разработанной, и ее достаточно сложно применить в статистических расчетах. Поэтому зачастую используются стохастические или детерминированные модели.

Построение

Стохастическая начинается с выбора пространства элементарных исходов. Так в статистике называют перечень возможных результатов изучаемого процесса или события. Затем исследователь определяет вероятность каждого из элементарных исходов. Обычно это делается на основе определенной методики.

Однако вероятности все равно являются достаточно субъективным параметром. Затем исследователь определяет, какие события представляются наиболее интересными для решения проблемы. После этого он просто определяет их вероятность.

Пример

Рассмотрим процесс построения самой простой стохастической модели. Предположим, мы кидаем кубик. Если выпадет «шесть» или «один», то наш выигрыш составит десять долларов. Процесс построения стохастической модели в этом случае будет выглядеть следующим образом:

• Определим пространство элементарных исходов. У кубика шесть граней, поэтому могут выпасть «один», «два», «три», «четыре», «пять» и «шесть».
• Вероятность каждого из исходов будет равна 1/6, сколько бы мы ни подбрасывали кубик.
• Теперь нужно определить интересующие нас исходы. Это выпадение грани с цифрой «шесть» или «один».
• Наконец, мы может определить вероятность интересующего нас события. Она составляет 1/3. Мы суммируем вероятности обоих интересующих нас элементарных событий: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Концепция и результат

Стохастическое моделирование часто используется в азартных играх. Но незаменимо оно и в экономическом прогнозировании, так как позволяют глубже, чем детерминированные, понять ситуацию. Стохастические модели в экономике часто используются при принятии инвестиционных решений. Они позволяют сделать предположения о рентабельности вложений в определенные активы или их группы.

Моделирование делает финансовое планирование более эффективным. С его помощью инвесторы и трейдеры оптимизируют распределение своих активов. Использование стохастического моделирования всегда имеет преимущества в долгосрочной перспективе. В некоторых отраслях отказ или неумение его применять может даже привести к банкротству предприятия. Это связано с тем, что в реальной жизни новые важные параметры появляются ежедневно, и если их не может иметь катастрофические последствия.

Страница
6

Метод разработки решения. Некоторые решения, как правило, типичные, повторяющиеся, могут быть с успехом формализованы, т.е. приниматься по заранее определённому алгоритму. Другими словами, формализованное решение – это результат выполнения заранее определённой последовательности действий. Например, при составлении графика ремонтного обслуживания оборудования начальник цеха может исходить из норматива, требующего определённого соотношения между количеством оборудования и обслуживающим персоналом. Если в цехе имеется 50 единиц оборудования, а норматив обслуживания составляет 10 единиц на одного ремонтного рабочего, значит, в цехе необходимо иметь пять ремонтников. Точно так же, когда финансовый менеджер принимает решение об инвестировании свободных средств в государственные ценные бумаги, он выбирает между различными видами облигаций в зависимости от того, какие из них обеспечивают в данное время наибольшую прибыль на вложенный капитал. Выбор производится на основе простого расчета конечной доходности по каждому варианту и установления самого выгодного.

Формализация принятия решений повышает эффективность управления в результате снижения вероятности ошибки и экономии времени: не нужно заново разрабатывать решение каждый раз, когда возникает соответствующая ситуация. Поэтому руководство организаций часто формализует решения для определённых, регулярно повторяющихся ситуаций, разрабатывая соответствующие правила, инструкции и нормативы.

В то же время в процессе управления организациями часто встречаются новые, нетипичные ситуации и нестандартные проблемы, которые не поддаются формализованному решению. В таких случаях большую роль играют интеллектуальные способности, талант и личная инициатива менеджеров.

Конечно, на практике большинство решений занимает промежуточное положение между этими двумя крайними точками, допуская в процессе их разработки как проявление личной инициативы, так и применение формальной процедуры. Конкретные методы, используемые в процессе принятия решений, рассмотрены ниже.

· Количество критериев выбора .

Если выбор наилучшей альтернативы производится только по одному критерию (что характерно для формализованных решений), то принимаемое решение будет простым, однокритериальным. И наоборот, когда выбранная альтернатива должна удовлетворять одновременно нескольким критериям, решение будет сложным, многокритериальным. В практике менеджмента подавляющее большинство решений многокритериальны, так как они должны одновременно отвечать таким критериям, как: объем прибыли, доходность, уровень качества, доля рынка, уровень занятости, срок реализации и т.п.

· Форма принятия решений .

Лицом, осуществляющим выбор из имеющихся альтернатив окончательного решения, может быть один человек и его решение будет соответственно единоличным. Однако в современной практике менеджмента всё чаще встречаются сложные ситуации и проблемы, решение которых требует всестороннего, комплексного анализа, т.е. участия группы менеджеров и специалистов. Такие групповые, или коллективные, решения называются коллегиальными. Усиление профессионализации и углубление специализации управления приводят к широкому распространению коллегиальных форм принятия решений. Необходимо также иметь в виду, что определённые решения и законодательно отнесены к группе коллегиальных. Так, например, определённые решения в акционерном обществе (о выплате дивидендов, распределении прибыли и убытков, совершении крупных сделок, избрании руководящих органов, реорганизации и др.) отнесены к исключительной компетенции общего собрания акционеров. Коллегиальная форма принятия решении, разумеется, снижает оперативность управления и “размывает” ответственность за его результаты, однако препятствует грубым ошибкам и злоупотреблениям и повышает обоснованность выбора.

· Способ фиксации решения.

По этому признаку управленческие решения могут быть разделены на фиксированные, или документальные (т.е. оформленные в виде какого либо документа - приказа, распоряжения, письма и т.п.) , и недокументированные (не имеющие документальной формы, устные). Большинство решений в аппарате управления оформляется документально, однако мелкие, несущественные решения, а также решения, принятые в чрезвычайных, острых, не терпящих промедления ситуациях, могут и не фиксироваться документально.

· Характер использованной информации . В зависимости от степени полноты и достоверности информации, которой располагает менеджер, управленческие решения могут быть детерминированными (принятыми в условиях определённости) или вероятностными (принятыми в условиях риска или неопределённости). Эти условия играют чрезвычайно важную роль при принятии решений, поэтому рассмотрим их более подробно.

Детерминированные и вероятностные решения.

Детерминированные решения принимаются в условиях определённости, когда руководитель располагает практически полной и достоверной информацией в отношении решаемой проблемы, что позволяет ему точно знать результат каждого из альтернативных вариантов выбора. Такой результат только один, и вероятность его наступления близка к единице. Примером детерминированного решения может быть выбор в качестве инструмента инвестирования свободной наличности 20 % - ных облигаций федерального займа с постоянным купонным доходом. Финансовый менеджер в этом случае точно знает, что за исключением крайне маловероятных чрезвычайных обстоятельств, из-за которых правительство РФ не сможет выполнить свои обязательства, организация получит ровно 20 % годовых на вложенные средства. Подобным образом, принимая решение о запуске в производство определённого изделия, руководитель может точно определить уровень издержек производства, так как ставки арендной платы, стоимость материалов и рабочей силы могут быть рассчитаны довольно точно.

Анализ управленческих решений в условиях определенности это самый простой случай: известно количество возможных ситуаций (вариантов) и их исходы. Нужно выбрать один из возможных вариантов. Степень сложности процедуры выбора в данном случае определяется лишь количеством альтернативных вариантов. Рассмотрим две возможные ситуации:

а) Имеется два возможных варианта;

В данном случае аналитик должен выбрать (или рекомендовать к выбору) один из двух возможных вариантов. Последовательность действий здесь следующая:

· определяется критерий по которому будет делаться выбор;

· методом “ прямого счета ” исчисляются значения критерия для сравниваемых вариантов;

Возможны различные методы решения этой задачи. Как правило они подразделяются на две группы:

методы основанные на дисконтированных оценках;

методы, основанные на учетных оценках.

Детерминированные и вероятностные модели

Детерминированными называются модели, в которых отсутствуют какие бы то ни было случайные изменения: внешних воздействий, внутренних параметров и самих переменных. В таких моделях все поведение объекта определяется конкретными значениями начальных условий и входных переменных. Иначе говоря, в них все точно определено (детерминировано).

Вероятностными являются модели, в которых учитывается случайный характер изменений значений входных, промежуточных и выходных переменных, а также параметров моделируемого объекта. В том случае, когда независимой переменной служит время, случайные процессы, а также и соответствующие вероятностные модели, их описывающие, называются стохастическими . Такие модели характеризуются функциями или плотностями распределения вероятностей и средними характеристиками смещения и рассеяния, например, математическим ожиданием и дисперсией.

Существуют различные точки зрения на реальный характер процессов, протекающих в нашем мире. Одна из них заключается в том, что абсолютно все процессы случайны, но среди них есть более случайные, с большим разбросом значений реализаций относительно средних характеристик, и менее случайные, со значениями, близкими к средним. Полярная точка зрения состоит в том, что наш мир детерминирован, а случайность характеризует степень нашей неосведомленности об истинном положении дел. По мере познания случайность должна отступать, уступая место детерминированному описанию. С нашей точки зрения истина, как всегда, находится где-то посередине, но в любом случае и детерминированные, и случайные модели имеют право на существование, взаимно дополняя друг друга. К этому вопросу целесообразно вернуться позже, при рассмотрении свойства истинности моделей (п. 1.5).

Можно рассмотреть на примере графиков функций распределения вероятностей (рис. 1.10) постепенный переход от одних вероятностных моделей (1 – равномерное распределение) к другим вероятностным моделям (2 и 3 – нормальное распределение с разными значениями параметра), а также в пределе и к детерминированной модели 4.

Рис.1.10. Переход от вероятностных моделей: равномерного распределения 1 (на интервале ab ) и нормального распределения 2, 3 к детерминированной модели 4

Технические системы. Параметрами технических объектов являются движущие объекты, объекты энергетики, объекты химической промышленности, объекты машиностроения, бытовая техника и многие другие. Объекты технических систем хорошо изучены в теории управления.

Экономические объекты. Экономическими объектами являются: цех, завод, предприятия различных отраслей. В качестве одной из переменных в них выступают экономические показатели - например - прибыль.

Биологические системы. Живые системы поддерживают свою жизнедеятельность благодаря заложенным в них механизмам управления.

Детерминированные и стохастические системы

Если внешние воздействия, приложенные к системе (управляющие и возмущающие) являются определенными известными функциями времени u=f(t). В этом случае состоянии системы описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями, в любой момент времени t может быть однозначно описано по состоянию системы в предшествующий момент времени. Системы для которых состояние системы однозначно определяется начальными значениями и может быть предсказано для любого момента времени называются детерминированными.

Стохастические системы - системы изменения в которых носят случайный характер. Например воздействие на энергосистему различных пользователей. При случайных воздействиях данных о состоянии системы недостаточно для предсказания в последующий момент времени.

Случайные воздействия могут прикладываться к системе из вне, или возникать внутри некоторых элементов (внутренние шумы). Исследование систем при наличии случайных воздействий можно проводить обычными методами, минимизировав шаг моделирования чтобы не пропустить влияния случайных параметров. При этом так как максимальное значение случайной величины встречается редко (в основном в технике преобладает нормальное распределение), то выбор минимального шага в большинстве моментов времени не будет обоснован.

В подавляющем большинстве случаев при проектировании систем закладываются не максимальным а наиболее вероятным значением случайного параметра. В этом случае поучается более рациональная система, заранее предполагая ухудшение работы системы в отдельные промежутки времени. Например установка катодной защиты.

Расчет систем при случайных воздействиях производится с помощью специальных статистических методов. Вводятся оценки случайных параметров, выполненные на основании множества испытаний. Например карта поверхности уровня грунтовых вод СПб.

Статистические свойства случайной величины определяют по ее функции распределения или плотности вероятности.

Открытые и закрытые системы

Понятие открытой системы ввел Л. фон Берталанфи. Основные отличительные черты открытых систем - способность обмениваться с внешней средой энергией и информацией. Закрытые (замкнутые) системы изолированны от внешней среды (с точностью принятой в модели).

Хорошо и плохо организованные системы

Хорошо организованные системы. Представить анализируемый объект или процесс в виде «хорошо организованной системы» означает определить элементы системы, их взаимосвязь, правила объединения в более крупные компоненты, т. е. определить связи между всеми компонентами и целями системы, с точки зрения которых рассматривается объект или ради достижения которых создается система. Проблемная ситуация может быть описана в виде математического выражения, связывающего цель со средствами, т. е. в виде критерия эффективности, критерия функционирования системы, который может быть представлен сложным уравнением или системой уравнений. Решение задачи при представлении ее в виде хорошо организованной системы осуществляется аналитическими методами формализованного представления системы.

Примеры хорошо организованных систем: солнечная система, описывающая наиболее существенные закономерности движения планет вокруг Солнца; отображение атома в виде планетарной системы, состоящей из ядра и электронов; описание работы сложного электронного устройства с помощью системы уравнений, учитывающей особенности условий его работы (наличие шумов, нестабильности источников питания и т. п.).

Для отображения объекта в виде хорошо организованной системы необходимо выделять существенные и не учитывать относительно несущественные для данной цели рассмотрения компоненты: например, при рассмотрении солнечной системы не учитывать метеориты, астероиды и другие мелкие по сравнению с планетами элементы межпланетного пространства.

Описание объекта в виде хорошо организованной системы применяется в тех случаях, когда можно предложить детерминированное описание и экспериментально доказать правомерность его применения, адекватность модели реальному процессу. Попытки применить класс хорошо организованных систем для представления сложных многокомпонентных объектов или многокритериальных задач плохо удаются: они требуют недопустимо больших затрат времени, практически нереализуемы и неадекватны применяемым моделям.

Плохо организованные системы. При представлении объекта в виде «плохо организованной или диффузной системы» не ставится задача определить все учитываемые компоненты, их свойства и связи между ними и целями системы. Система характеризуется некоторым набором макропараметров и закономерностями, которые находятся на основе исследования не всего объекта или класса явлений, а на основе определенней с помощью некоторых правил выборки компонентов, характеризующих исследуемый объект или процесс. На основе такого выборочного исследования получают характеристики или закономерности (статистические, экономические) и распространяют их на всю систему в целом. При этом делаются соответствующие оговорки. Например, при получении статистических закономерностей их распространяют на поведение всей системы с некоторой доверительной вероятностью.

Подход к отображению объектов в виде диффузных систем широко применяется при: описании систем массового обслуживания, определении численности штатов на предприятиях и учреждениях, исследовании документальных потоков информации в системах управления и т. д.

Самоорганизующиеся системы. Отображение объекта в виде самоорганизующейся системы - это подход, позволяющий исследовать наименее изученные объекты и процессы. Самоорганизующиеся системы обладают признаками диффузных систем: стохастичностью поведения, нестационарностью отдельных параметров и процессов. К этому добавляются такие признаки, как непредсказуемость поведения; способность адаптироваться к изменяющимся условиям среды, изменять структуру при взаимодействии системы со средой, сохраняя при этом свойства целостности; способность формировать возможные варианты поведения и выбирать из них наилучший и др. Иногда этот класс разбивают на подклассы, выделяя адаптивные или самоприспосабливающиеся системы, самовосстанавливающиеся, самовоспроизводящиеся и другие подклассы, соответствующие различным свойствам развивающихся систем.

Примеры: биологические организации, коллективное поведение людей, организация управления на уровне предприятия, отрасли, государства в целом, т. е. в тех системах, где обязательно имеется человеческий фактор.

При применении отображения объекта в виде самоорганизующейся системы задачи определения целей и выбора средств, как правило, разделяются. При этом задача выбора целей может быть, в свою очередь, описана в виде самоорганизующейся системы, т. е. структура функциональной части АСУ, структура целей, плана может разбиваться так же, как и структура обеспечивающей части АСУ (комплекс технических средств АСУ) или организационная структура системы управления.

Большинство примеров применения системного анализа основано на представлении объектов в виде самоорганизующихся систем.

Стохастические модели

Как уже говорилось выше, стохастические модели – это модели вероятностные. При этом в результате расчетов можно сказать с достаточной степенью вероятности, каково будет значение анализируемого показателя при изменении фактора. Самое частое применение стохастических моделей – прогнозирование.

Стохастическое моделирование является в определенной степени дополнением и углублением детерминированного факторного анализа. В факторном анализе эти модели используются по трем основным причинам:

• необходимо изучить влияние факторов, по которым нельзя построить жестко детерминированную факторную модель (например, уровень финансового левериджа);

• необходимо изучить влияние сложных факторов, которые не поддаются объединению в одной и той же жестко детерминированной модели;
• необходимо изучить влияние сложных факторов, которые не могут быть выражены одним количественным показателем (например, уровень научно-технического прогресса).

В отличие от жестко детерминированного стохастический подход для реализации требует ряда предпосылок:

1. наличие совокупности;
2. достаточный объем наблюдений;
3. случайность и независимость наблюдений;
4. однородность;
5. наличие распределения признаков, близкого к нормальному;
6. наличие специального математического аппарата.

Построение стохастической модели проводится в несколько этапов:

• качественный анализ (постановка цели анализа, определение совокупности, определение результативных и факторных признаков, выбор периода, за который проводится анализ, выбор метода анализа);
• предварительный анализ моделируемой совокупности (проверка однородности совокупности, исключение аномальных наблюдений, уточнение необходимого объема выборки, установление законов распределения изучаемых показателей);
• построение стохастической (регрессионной) модели (уточнение перечня факторов, расчет оценок параметров уравнения регрессии, перебор конкурирующих вариантов моделей);
• оценка адекватности модели (проверка статистической существенности уравнения в целом и его отдельных параметров, проверка соответствия формальных свойств оценок задачам исследования);
• экономическая интерпретация и практическое использование модели (определение пространственно-временной устойчивости построенной зависимости, оценка практических свойств модели).

Основные понятия корреляционного и регрессионного анализа

Корреляционный анализ - совокупность методов математической статистики, позволяющих оценивать коэффициенты, характеризующие корреляцию между случайными величинами, и проверять гипотезы об их значениях на основе расчета их выборочных аналогов.

Корреляционным анализом называется метод обработки статистических данных, заключающийся в изучении коэффициентов (корреляции) между переменными.

Корреляционная связь (которую также называют неполной, или статистической) проявляется в среднем, для массовых наблюдений, когда заданным значениям зависимой переменной соответствует некоторый ряд вероятных значений независимой переменной. Объяснение тому – сложность взаимосвязей между анализируемыми факторами, на взаимодействие которых влияют неучтенные случайные величины. Поэтому связь между признаками проявляется лишь в среднем, в массе случаев. При корреляционной связи каждому значению аргумента соответствуют случайно распределенные в некотором интервале значения функции .

В наиболее общем виде задача статистики (и, соответственно, экономического анализа) в области изучения взаимосвязей состоит в количественной оценке их наличия и направления, а также характеристике силы и формы влияния одних факторов на другие. Для ее решения применяются две группы методов, одна из которых включает в себя методы корреляционного анализа, а другая – регрессионный анализ. В то же время ряд исследователей объединяет эти методы в корреляционно-регрессионный анализ, что имеет под собой некоторые основания: наличие целого ряда общих вычислительных процедур, взаимодополнения при интерпретации результатов и др.

Поэтому в данном контексте можно говорить о корреляционном анализе в широком смысле – когда всесторонне характеризуется взаимосвязь. В то же время выделяют корреляционный анализ в узком смысле – когда исследуется сила связи – и регрессионный анализ, в ходе которого оцениваются ее форма и воздействие одних факторов на другие.

Задачи собственнокорреляционного анализа сводятся к измерению тесноты связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей и оценке факторов оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.

Задачирегрессионного анализа лежат в сфере установления формы зависимости, определения функции регрессии, использования уравнения для оценки неизвестных значении зависимой переменной.

Решение названных задач опирается на соответствующие приемы, алгоритмы, показатели, что дает основание говорить о статистическом изучении взаимосвязей.

Следует заметить, что традиционные методы корреляции и регрессии широко представлены в разного рода статистических пакетах программ для ЭВМ. Исследователю остается только правильно подготовить информацию, выбрать удовлетворяющий требованиям анализа пакет программ и быть готовым к интерпретации полученных результатов. Алгоритмов вычисления параметров связи существует множество, и в настоящее время вряд ли целесообразно проводить такой сложный вид анализа вручную. Вычислительные процедуры представляют самостоятельный интерес, но знание принципов изучения взаимосвязей, возможностей и ограничений тех или иных методов интерпретации результатов является обязательным условием исследования.

Методы оценки тесноты связи подразделяются на корреляционные (параметрические) и непараметрические. Параметрические методы основаны на использовании, как правило, оценок нормального распределения и применяются в случаях, когда изучаемая совокупность состоит из величин, которые подчиняются закону нормального распределения. На практике это положение чаще всего принимается априори. Собственно, эти методы – параметрические – и принято называть корреляционными.

Непараметрические методы не накладывают ограничений на закон распределения изучаемых величин. Их преимуществом является и простота вычислений.

Автокорреляция - статистическая взаимосвязь между случайными величинами из одного ряда, но взятых со сдвигом, например, для случайного процесса - со сдвигом по времени.

Парная корреляция

Простейшим приемом выявления связи между двумя признаками является построение корреляционной таблицы:

В основу группировки положены два изучаемых во взаимосвязи признака – Х и У. Частоты f ij показывают количество соответствующих сочетаний Х и У.

Если f ij расположены в таблице беспорядочно, можно говорить об отсутствии связи между переменными. В случае образования какого-либо характерного сочетания f ij допустимо утверждать о связи между Х и У. При этом, если f ij концентрируется около одной из двух диагоналей, имеет место прямая или обратная линейная связь.

Наглядным изображением корреляционной таблице служит корреляционное поле. Оно представляет собой график, где на оси абсцисс откладывают значения Х, по оси ординат – У, а точками показывается сочетание Х и У. По расположению точек, их концентрации в определенном направлении можно судить о наличии связи.

Корреляционным полем называется множество точек {X i , Y i } на плоскости XY (рисунки 6.1 - 6.2).

Если точки корреляционного поля образуют эллипс, главная диагональ которого имеет положительный угол наклона (/), то имеет место положительная корреляция (пример подобной ситуации можно видеть на рисунке 6.1).

Если точки корреляционного поля образуют эллипс, главная диагональ которого имеет отрицательный угол наклона (\), то имеет место отрицательная корреляция (пример изображен на рисунке 6.2).

Если же в расположении точек нет какой-либо закономерности, то говорят, что в этом случае наблюдается нулевая корреляция.

В итогах корреляционной таблицы по строкам и столбцам приводятся два распределения – одно по X, другое по У. Рассчитаем для каждого Х i среднее значение У, т.е. , как

Последовательность точек (X i , ) дает график, который иллюстрирует зависимость среднего значения результативного признака У от факторного X, – эмпирическую линию регрессии, наглядно показывающую, как изменяется У по мере изменения X.

По существу, и корреляционная таблица, и корреляционное поле, и эмпирическая линия регрессии предварительно уже характеризуют взаимосвязь, когда выбраны факторный и результативный признаки и требуется сформулировать предположения о форме и направленности связи. В то же время количественная оценка тесноты связи требует дополнительных расчетов.